4宮崎大学 2014年 数学 第4問解答・解説

まず、漸化式をもう一段進める。$6b_n=a_{n+1}-2a_n$ より $$a_{n+2}=2a_{n+1}+6b_{n+1}=2a_{n+1}+12a_n+18b_n=5a_{n+1}+6a_n.$$

(1) $X=5-\alpha-\beta$、$Y=6+\alpha\beta$ とおく。問題の恒等式は $Xa_{n+1}+Ya_n=0$。$a_1=1,a_2=8,a_3=46$ なので、$n=1,2$ を代入すると $8X+Y=0$、$46X+8Y=0$。第1式を8倍して第2式を引くと $(64-46)X=18X=0$ となるので、$X=0$。これを第1式に戻すと $Y=0$。したがって $$\alpha+\beta=5,\qquad \alpha\beta=-6,$$ より $(\alpha,\beta)=(6,-1),(-1,6)$。

(2) 特性方程式は $r^2-5r-6=(r-6)(r+1)=0$。よって $a_n=A6^{n-1}+B(-1)^{n-1}$。初期値 $a_1=1,a_2=8$ から $A=9/7,B=-2/7$ となり、 $$\displaystyle a_n=\frac{9\cdot6^{n-1}-2(-1)^{n-1}}7.$$

(3) 同様に $b_{n+2}=5b_{n+1}+6b_n$。$b_1=1,b_2=5$ から $$\displaystyle b_n=\frac{6\cdot6^{n-1}+(-1)^{n-1}}7.$$ 分子・分母を $6^{n-1}$ で割ると $(-1/6)^{n-1}\to0$ なので、 $$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac96=\frac32.$$

まずa_{n+1}=2a_n+6b_nから$6b_n=a_{n+1}-2a_n$と直し、漸化式をもう一段進めるとa_{n+2}=5a_{n+1}+6a_nを得ます。(1)ではこの式と問題の式を比べ、係数の条件α+β=5、αβ=-6を解きます。(2)は特性方程式が(r-6)(r+1)=0なので、6^{n-1}と(-1)^{n-1}の和で表せます。初めの2項$a_1=1,a_2=8$を代入して係数を定めます。(3)ではb_nにも同じ2階漸化式を導き、$b_1=1,b_2=5$から一般項を出します。分子・分母を$6^{n-1}$で割ると$(-1/6)^{n-1}$が0に近づくので、比の極限は3/2です。