4名古屋大学 2020年 数学 第4問解答・解説

解答 先攻の位置から後攻の位置への差を4で割った余りで表す。終了前の状態は、差が2の「対向」か、差が1または3の「隣接」である。k回終了時点までゲームが続いて対向状態にある確率を $\displaystyle c_k$、隣接状態にある確率を $\displaystyle q_k$ とすると、$\displaystyle (c_0,q_0)=(1,0)$ であり、1回で同じ状態にとどまる確率と隣の状態へ移る確率から $$\displaystyle q_{k+1}=\frac13q_k+\frac23c_k,\qquad c_{k+1}=\frac13q_k+\frac13c_k.$$ 隣接状態で次の一振りが衝突を起こす確率は $\displaystyle \frac{1}{3}$ なので、$\displaystyle p_n=\frac{q_{n-1}}{3}$。まず $\displaystyle q_1=\frac{2}{3}$ であり、2式から $$\displaystyle q_{k+2}=\frac23q_{k+1}+\frac19q_k.$$ 特性方程式の根は $\displaystyle \lambda_\pm=\frac{1\pm\sqrt2}{3}$。初期値を用いると $$\displaystyle q_k=\frac{\lambda_+^k-\lambda_-^k}{\sqrt2},\qquad p_n=\frac{\lambda_+^{n-1}-\lambda_-^{n-1}}{3\sqrt2}.$$ 従って $\displaystyle p_2=\frac{2}{9}$、$\displaystyle p_3=\frac{4}{27}$。

累計の大小を示すため、$\displaystyle k\ge1$ で $\displaystyle q_k>c_k>0$ を示す。$\displaystyle k=1$ では $\displaystyle q_1=\frac{2}{3},c_1=\frac{1}{3}$。さらに漸化式より $$\displaystyle q_{k+1}-c_{k+1}=\frac13c_k>0,$$ なので帰納的に成り立つ。この不等式を遷移式に代入すると $$\displaystyle q_{k+1}-q_k=\frac23(c_k-q_k)<0\qquad(k\ge1).$$ したがって $\displaystyle p_2>p_3>p_4>\cdots>0$。$\displaystyle N=2k+1$ のときは各組 $\displaystyle p_{2j}>p_{2j+1}$ ($\displaystyle 1\le j\le k$) なので偶数回の和が奇数回の和より大きい。$\displaystyle N=2k$ のときは $\displaystyle j=1,\ldots,k-1$ の組の不等式と、残る $\displaystyle p_{2k}>0$ を合わせれば同じ結論になる（奇数側の $\displaystyle p_1=0$）。

編集ラベル - 単元: 数学A・確率、数学B・数列 - 方法: 状態遷移表、確率漸化式、特性方程式、単調性による項別比較 - テーマ: 吸収を伴う交互ゲームの終了時刻

Verification and scope

独立検算では、対向・隣接の2状態遷移から同じ確率漸化式・一般項・$\displaystyle p_2,p_3$を得た。作者解の最後の比較も確認し、隣接状態確率 $\displaystyle q_k$ が $\displaystyle k\ge1$ で狭義減少することから $\displaystyle p_2>p_3>\cdots>0$、さらに奇数 N/偶数 N の双方で指定された和の差が正になる。

PDFの冊子には「理科系」とある。正式ローカルindex `medical-math-url-index-20260920/research/medical-math-past-exams/data/toshin-math-question-records.jsonl` は当該PDF `17/2020/m17202.pdf` を「名古屋大学・2020・医／医 前期」と分類している。候補カタログのUNDETERMINEDよりこの正式indexの対象記録を用い、医学部対象として記録する。