I横浜市立大学 2020年 数学 第I問解答・解説

[I]（説明補足版） (1) $x\ne0$ なので両辺を $x^2$ で割り、$u=x+1/x$ とおくと $$u^2-8u+15=0.$$ よって $u=3,5$。それぞれを解いて $$\displaystyle \boxed{x=\frac{3\pm\sqrt5}{2},\quad \frac{5\pm\sqrt{21}}2}.$$

(2) $\vec u=3\vec a+2\vec b,\ \vec v=2\vec a-3\vec b$ とする。逆変換は $$\displaystyle \vec a=\frac{3\vec u+2\vec v}{13},\qquad \vec b=\frac{2\vec u-3\vec v}{13}.$$ 従って $\vec a+\vec b=(5\vec u-\vec v)/13$。$|\vec u|=|\vec v|=1$ より $$\displaystyle |\vec a+\vec b|\le\frac{5|\vec u|+|\vec v|}{13}=\frac6{13}.$$ $\vec v=-\vec u$ で等号となるから最大値は $\boxed{6/13}$。

(3) 最短経路は右へ6回、上へ4回進む格子経路であり、全部で $\displaystyle \binom{10}{4}=210$ 通り。点 $(4,2)$ を通る経路は、まず $(0,0)$ から $(4,2)$ までの6歩のうち上へ2歩を選ぶ方法が $\displaystyle \binom62$ 通り、その後 $(4,2)$ から $(6,4)$ までの4歩のうち上へ2歩を選ぶ方法が $\displaystyle \binom42$ 通りある。よって禁止点を通る経路は $\displaystyle \binom62\binom42=90$ 通りで、求める数は $$\boxed{210-90=120}.$$

(4) 袋Aの赤玉数を $X_n$ とする。赤玉の総数は2個で、袋Aが1個のとき袋Bも1個である。このとき同時に引く16組のうち、交換後もAが赤玉1個となるのは赤赤の1組と白白の9組、計10組なので、確率は $10/16=5/8$ である。Aの赤玉が0個または2個ならBはそれぞれ2個または0個で、交換後にAが1個となるには一方の袋から赤玉、もう一方から白玉を引く必要があり、その確率は $1/2$。 従って $$\displaystyle P(X_{n+1}=1)=\frac58P(X_n=1)+\frac12\{1-P(X_n=1)\} =\frac18P(X_n=1)+\frac12.$$ $P(X_0=1)=1$ だから $$\displaystyle \boxed{P(X_n=1)=\frac47+\frac{3}{7\cdot8^n}}.$$