III横浜市立大学 2020年 数学 第III問解答・解説

正五角形の一辺の長さを $s$、対角線 $AC$ の長さを $d$ とする。外接円では隣り合う頂点に対する弧の大きさはそれぞれ $2\pi/5$ である。　 (1) 円周角の定理より、$\angle MBC=\angle EBC$ は、点 $B$ を含まない弧 $EC$（弧 $EDC$）に対する円周角であるから $$\displaystyle \angle MBC=\frac12\cdot\frac{4\pi}{5}=\frac{2\pi}{5}.$$ また、円内で交わる弦 $BE,AC$ のつくる角について $$\displaystyle \angle BMC=\frac12\bigl(\overset{\frown}{BC}+\overset{\frown}{AE}\bigr) =\frac12\left(\frac{2\pi}{5}+\frac{2\pi}{5}\right)=\frac{2\pi}{5}.$$ したがって、三角形 $BMC$ で $\angle MBC=\angle BMC$ なので、これらの角の対辺は等しく、$MC=BC$ である。　 (2) 正五角形より $AB=BC=s$。円周角の定理から $\angle BAC=\pi/5$ であり、$AB=BC$ より $\angle ACB=\pi/5$、したがって $\angle ABC=3\pi/5$ である。また、弧 $AE$ に対する円周角より $\angle ABE=\pi/5$。$M$ は $AC$ 上かつ $BE$ 上にあるので $$\displaystyle \angle BAM=\angle BAC=\frac{\pi}{5},\qquad \angle ABM=\angle ABE=\frac{\pi}{5}.$$ よって $AM=BM$ であり、$\angle AMB=3\pi/5$。したがって $$\triangle ABC\sim\triangle AMB$$ （対応は $A\leftrightarrow A,\ B\leftrightarrow M,\ C\leftrightarrow B$）である。$x=AM=BM$ とおくと、相似比から $$\displaystyle \frac{d}{s}=\frac{AC}{AB}=\frac{AB}{AM}=\frac{s}{x}.$$ (1)と $AC=AM+MC$ より $d=x+s$ でもある。$r=d/s$ とおけば $r=1+1/r$、すなわち $r^2-r-1=0$。$r>0$ だから $$\displaystyle \frac{AC}{AB}=r=\frac{1+\sqrt5}{2}.$$　 (3) 三角形 $ABC$ に余弦定理を用いると $$\displaystyle d^2=s^2+s^2-2s^2\cos\frac{3\pi}{5}.$$ (2)の $r=d/s=(1+\sqrt5)/2$ は $r^2=r+1=(3+\sqrt5)/2$ を満たすので $$\displaystyle \cos\frac{3\pi}{5}=1-\frac{r^2}{2} =1-\frac{3+\sqrt5}{4} =\frac{1-\sqrt5}{4}.$$　 (4) 中心角 $\angle AOC$ は弧 $ABC$ に対するので $4\pi/5$。$OA=OC$ より、$O$ から $AC$ に下ろした垂線の足を $N$ とすると、$N$ は $AC$ の中点で $\angle AON=2\pi/5$ である。直角三角形 $AON$ から $$\displaystyle \frac{AC}{OA}=2\sin\frac{2\pi}{5}.$$ ここで $\cos(2\pi/5)=-\cos(3\pi/5)=(\sqrt5-1)/4$ だから、 $$\displaystyle \sin^2\frac{2\pi}{5} =1-\left(\frac{\sqrt5-1}{4}\right)^2 =\frac{5+\sqrt5}{8}.$$ $0<2\pi/5<\pi/2$ より正の平方根をとって $$\displaystyle \frac{AC}{OA}=2\sqrt{\frac{5+\sqrt5}{8}} =\sqrt{\frac{5+\sqrt5}{2}}.$$　 (5) $c=\cos(\pi/5)$ とおくと、$\cos(3\pi/5)=\cos(\pi-2\pi/5)=-\cos(2\pi/5)$ と二倍角の公式より $$\displaystyle \cos\frac{3\pi}{5}=1-2c^2.$$ (3)を代入すると $$\displaystyle c^2=\frac{1-\cos(3\pi/5)}{2} =\frac{3+\sqrt5}{8}.$$ $0<\pi/5<\pi/2$ なので $c>0$。したがって $$\displaystyle \cos\frac{\pi}{5}=\sqrt{\frac{3+\sqrt5}{8}} =\frac{1+\sqrt5}{4},$$ 最後の等式は右辺が正で、その平方が $(3+\sqrt5)/8$ であることによる。