7自治医科大学 2020年 数学 第7問解答・解説

対角線 $AC$ の長さを $d$、$\angle ABC=\theta$、$\angle ADC=\phi$ とする。四角形 $ABCD$ は円に内接するから、$\phi=\pi-\theta$ である。余弦定理を三角形 $ABC$ と三角形 $ADC$ に用いると、 $$\displaystyle \cos\theta=\frac{AB^{2}+BC^{2}-d^{2}}{2AB\cdot BC}=\frac{5-d^{2}}{4},\qquad \cos\phi=\frac{DA^{2}+DC^{2}-d^{2}}{2DA\cdot DC}=\frac{25-d^{2}}{24}.$$ $\cos\phi=-\cos\theta$ なので、 $$\displaystyle \frac{25-d^{2}}{24}=-\frac{5-d^{2}}{4},$$ よって $\displaystyle d^{2}=\frac{55}{7}$ である。したがって $$\displaystyle \cos\theta=\frac{5-\frac{55}{7}}{4}=-\frac{5}{7}.$$ $\theta$ は三角形の内角なので $\sin\theta>0$ であり、$\displaystyle \sin\theta=\sqrt{1-\cos^{2}\theta}=\frac{2\sqrt{6}}{7}$ となる。また $\sin\phi=\sin\theta$ であるから、四角形の面積は $$\displaystyle S=\frac12 AB\cdot BC\sin\theta+\frac12 DA\cdot DC\sin\phi =\frac12(1\cdot2+4\cdot3)\frac{2\sqrt{6}}{7}=2\sqrt{6}.$$ ゆえに求める値は $$\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{2}S=\frac{\sqrt{6}}{2}\cdot2\sqrt{6}=6.$$