1近畿大学 2014年 数学 第1問解答・解説

(1) 三角形 $ABC$ に余弦定理を用いると $$AC^2=AB^2+BC^2-2\,AB\cdot BC\cos\theta =1^2+2^2-2\cdot1\cdot2\cos\theta=5-4\cos\theta.$$ 従って $m=5,\ n=-4$。 　 (2) 円に内接する四角形の対角の和は $\pi$ なので、$\angle ADC=\pi-\theta$。三角形 $ADC$ に余弦定理を用いると $$AC^2=DA^2+DC^2-2\,DA\cdot DC\cos(\pi-\theta) =4^2+2^2+16\cos\theta=20+16\cos\theta.$$ これと (1) の式を等しくして $$\displaystyle 5-4\cos\theta=20+16\cos\theta, \qquad \cos\theta=-\frac34.$$ 従って $AC^2=5-4(-3/4)=8$ より $AC=2\sqrt2$。また $0<\theta<\pi$ なので $$\displaystyle \sin\theta=\sqrt{1-\cos^2\theta}=\frac{\sqrt7}{4}.$$ 弦 $AC$ に対する円周角は $\theta$ であるから、正弦定理より円の半径 $R$ は $$\displaystyle 2R=\frac{AC}{\sin\theta},\qquad R=\frac{2\sqrt2}{2(\sqrt7/4)}=\frac{4\sqrt{14}}7.$$ 四角形を対角線 $AC$ で分けると $$\displaystyle [ABC]=\frac12\cdot1\cdot2\sin\theta=\frac{\sqrt7}{4}, \qquad [ADC]=\frac12\cdot4\cdot2\sin(\pi-\theta)=\sqrt7.$$ 従って四角形の面積は $\displaystyle \frac{5\sqrt7}{4}$ である。