2近畿大学 2014年 数学 第2問解答・解説

(1) $AD:DC=2:3$ より、$\displaystyle D=\frac35A+\frac25C$ と表せる。また $BE:EC=s:(1-s)$ より、$E=(1-s)B+sC$ である。$F$ は $AE$ 上にあるので $F=(1-k)A+kE$、すなわち $$F=(1-k)A+k(1-s)B+ksC$$ と表せる。一方、$F$ は $BD$ 上にもある。$BD$ 上の点では、$A$ の係数と $C$ の係数の比が $3:2$ だから $$\displaystyle \frac{1-k}{ks}=\frac32.$$ これを解いて $2(1-k)=3ks$、したがって $$\displaystyle k=\frac{2}{2+3s}.$$

(2) $[XYZ]$ を三角形 $XYZ$ の面積とする。$F$ は $AE$ 上で $AF/AE=k$ なので、$[AFD]=k[AED]$。また、$AD/AC=2/5$、$CE/CB=1-s$ より $$\displaystyle [AED]=\frac25(1-s)[ABC].$$ 同様に、$EF/EA=1-k$、$BE/BC=s$ から $$[EFB]=(1-k)[AEB]=(1-k)s[ABC].$$ 従って $$\displaystyle \frac{[AFD]}{[EFB]}=\frac{\frac25k(1-s)}{(1-k)s} =\frac{4(1-s)}{15s^2},$$ ここでは (1) の $k=2/(2+3s)$ を用いた。これが $2$ となる条件は $$15s^2+2s-2=0.$$ 二次方程式を解くと $s=(-1\pm\sqrt{31})/15$ であり、$0<s<1$ を満たすのは $$\displaystyle s=\frac{\sqrt{31}-1}{15}$$ である。

(3) $\mathbf a=\overrightarrow{AB},\ \mathbf c=\overrightarrow{AC}$ とおくと、$\overrightarrow{BC}=\mathbf c-\mathbf a$、$\overrightarrow{AE}=(1-s)\mathbf a+s\mathbf c$ である。条件から $$\mathbf a\cdot\mathbf a=9,\quad \mathbf c\cdot\mathbf c=4,\quad \mathbf a\cdot\mathbf c=3\cdot2\cos60^\circ=3.$$ したがって $$\overrightarrow{AE}\cdot\overrightarrow{BC} =((1-s)\mathbf a+s\mathbf c)\cdot(\mathbf c-\mathbf a) =(1-s)(3-9)+s(4-3)=-6+7s.$$ 垂直条件より $-6+7s=0$ なので $$\displaystyle s=\frac67.$$