3日本大学 2016年 数学 第3問解答・解説

$\vec{u}=\overrightarrow{AB}$、$\vec{v}=\overrightarrow{AC}$とおくと、$|\vec u|=1$、$|\vec v|=\sqrt2$、$\displaystyle \vec u\cdot\vec v=\frac12$である。

(1) $$BC^2=|\vec v-\vec u|^2=|\vec v|^2+|\vec u|^2-2\vec u\cdot\vec v=2+1-1=2$$より$BC=\sqrt2$。また$\displaystyle \cos A=\frac{\vec u\cdot\vec v}{|\vec u||\vec v|}=\frac{1}{2\sqrt2}$なので、$\displaystyle \sin A=\sqrt{1-\cos^2 A}=\frac{\sqrt{14}}4$。従って$$\displaystyle [ABC]=\frac12|AB||AC|\sin A=\frac12\cdot1\cdot\sqrt2\cdot\frac{\sqrt{14}}4=\frac{\sqrt7}{4}.$$

(2) $\overrightarrow{AO}=s\vec u+t\vec v$とおく。外心は$OA=OB=OC$を満たすから、$|\overrightarrow{AO}|=|\overrightarrow{AO}-\vec u|$、$|\overrightarrow{AO}|=|\overrightarrow{AO}-\vec v|$。両辺を二乗して整理すると$$\displaystyle \overrightarrow{AO}\cdot\vec u=\frac12,\qquad \overrightarrow{AO}\cdot\vec v=1.$$従って$$\displaystyle s+\frac t2=\frac12,\qquad \frac s2+2t=1.$$これを解いて$\displaystyle s=\frac27,t=\frac37$となる。

(3) $\overrightarrow{AR}=m\vec u+n\vec v$とおく。$BC$の方向ベクトルは$\vec v-\vec u$だから、垂直条件は$$\displaystyle 0=\overrightarrow{AR}\cdot(\vec v-\vec u)=\left(-\frac m2+\frac{3n}{2}\right),\quad m=3n.$$また$O$の位置ベクトルを$\displaystyle \vec w=\overrightarrow{AO}=\frac27\vec u+\frac37\vec v$とする。$R$が中心$O$、半径$OA=|\vec w|$の円上にある条件は$|\overrightarrow{AR}-\vec w|^2=|\vec w|^2$、すなわち$|\overrightarrow{AR}|^2=2\vec w\cdot\overrightarrow{AR}$である。内積を計算すると$$m^2+mn+2n^2=m+2n.$$ここに$m=3n$を代入すると$14n^2=5n$。$n=0$は$R=A$に当たるので除き、$\displaystyle n=\frac5{14},m=\frac{15}{14}$。従って$$\displaystyle \overrightarrow{AR}=\frac{15}{14}\overrightarrow{AB}+\frac5{14}\overrightarrow{AC}.$$正の係数なので対角線$AR$は$\angle BAC$の内部にあり、四角形の面積は$[ABR]+[ARC]$。$R=m\vec u+n\vec v$より、底辺$AB$からの高さは$n$倍、底辺$AC$からの高さは$m$倍となるため$$[ABR]=n[ABC],\quad[ARC]=m[ABC].$$よって$$\displaystyle [ABRC]=(m+n)[ABC]=\left(\frac{15}{14}+\frac5{14}\right)\frac{\sqrt7}{4}=\frac{5\sqrt7}{14}.$$