4日本大学 2016年 数学 第4問解答・解説

$k>1$より、$k\cos x=1$は$\displaystyle 0<x<\frac\pi2$にただ一つの解$x=t=f(k)$をもつ。$0\le x\le t$では$k\cos x\ge1$、$\displaystyle t\le x\le\frac\pi2$では$k\cos x\le1$である。

(1) 面積を積分で表すと$$\displaystyle S_1=\int_0^t(k\cos x-1)\,dx=k\sin t-t,\qquad S_2=\int_0^t1\,dx+\int_t^{\pi/2}k\cos x\,dx=t+k(1-\sin t).$$$k\cos t=1$だから$\cos t=1/k$であり、$k\to\infty$のとき$\displaystyle t\to\frac\pi2$。さらに$$\displaystyle \frac{S_1}{k}=\sin t-\frac tk\longrightarrow1,\qquad k(1-\sin t)=\frac{k\cos^2t}{1+\sin t}=\frac{\cos t}{1+\sin t}\longrightarrow0.$$従って$\displaystyle S_2\to\frac\pi2$で、$$\displaystyle \lim\limits _{k\to\infty}\frac{kS_2}{S_1}=\lim\limits _{k\to\infty}\frac{S_2}{S_1/k}=\frac\pi2.$$

(2) 上で得た面積から$$S_2-S_1=2t+k(1-2\sin t)=2f(k)+k\{1-2\sin f(k)\}.$$ここで$\cos t=1/k$より$k=\sec t$、また$k\sin t=\tan t$だから、差を$t$の関数として$$\displaystyle g(t)=2t+\sec t-2\tan t\qquad\left(0<t<\frac\pi2\right)$$と表せる。微分すると$$\displaystyle g'(t)=2+\sec t\tan t-2\sec^2t=\frac{\sin t(1-2\sin t)}{\cos^2t}.$$したがって$\displaystyle 0<t<\frac\pi6$で増加し、$\displaystyle \frac\pi6<t<\frac\pi2$で減少するので、最大は$\displaystyle t=\frac\pi6$、すなわち$\displaystyle k=\sec\frac\pi6=\frac2{\sqrt3}$のときである。その最大値は$$\displaystyle g\left(\frac\pi6\right)=\frac\pi3+\frac2{\sqrt3}-\frac2{\sqrt3}=\frac\pi3.$$