5日本大学 2016年 数学 第5問解答・解説

(1) 交点の$x$座標は$$\displaystyle \frac{a}{e}x^2=2a\ln x\quad\text{、すなわち}\quad F(x):=\frac{x^2}{e}-2\ln x=0\qquad(x>0).$$$a>0$なので割り算ができる。$$\displaystyle F'(x)=\frac{2(x^2-e)}{ex}$$より、$F$は$0<x<\sqrt e$で減少し、$x>\sqrt e$で増加する。また$F(\sqrt e)=1-1=0$。従って$F(x)\ge0$で等号は$x=\sqrt e$のときだけであり、二曲線の共通点は$(\sqrt e,a)$ただ一つである。二曲線の導関数は$2ax/e$、$2a/x$で、$x=\sqrt e$においてともに$2a/\sqrt e$。よって共通接線は$$\displaystyle l:\quad y-a=\frac{2a}{\sqrt e}(x-\sqrt e),\qquad y=\frac{2a}{\sqrt e}x-a.$$

(2) まず$V_1$を求める。$y$で水平に切ると、$-a\le y\le0$では回転半径は$0$から直線$l$上の$\displaystyle x=\frac{\sqrt e(y+a)}{2a}$までであり、$0\le y\le a$では内半径が曲線①上の$\displaystyle x=\sqrt{\frac{ey}{a}}$、外半径が直線上の$\displaystyle x=\frac{\sqrt e(y+a)}{2a}$である。内外の順序は$$\displaystyle \frac{e(y+a)^2}{4a^2}-\frac{ey}{a}=\frac{e(a-y)^2}{4a^2}\ge0$$から分かる。従って$$\displaystyle \begin{aligned}V_1&=\pi\int_{-a}^{0}\frac{e(y+a)^2}{4a^2}\,dy+\pi\int_0^a\left\{\frac{e(y+a)^2}{4a^2}-\frac{ey}{a}\right\}dy\\&=\frac{\pi ea}{12}+\pi\left(\frac{7ea}{12}-\frac{ea}{2}\right)=\frac{\pi ea}{6}.\end{aligned}$$

次に$V_2$を求める。直線$l$と$x$軸の交点は$x=\sqrt e/2<1$、曲線②と$x$軸の交点は$x=1$、二曲線の接点は$x=\sqrt e$である。$1\le x<\sqrt e$では$l-2a\ln x$の導関数が$2a/\sqrt e-2a/x<0$で、$x=\sqrt e$で差が0だから直線は曲線②より上にある。よって$$\displaystyle V_2=\pi\int_{\sqrt e/2}^{1}\left(\frac{2a}{\sqrt e}x-a\right)^2dx+\pi\int_1^{\sqrt e}\left\{\left(\frac{2a}{\sqrt e}x-a\right)^2-(2a\ln x)^2\right\}dx.$$$u=x/\sqrt e$と置くと、直線は$a(2u-1)$、曲線②は$a(1+2\ln u)$となる。従って$$\displaystyle V_2=\pi a^2\sqrt e\left\{\int_{1/2}^{1}(2u-1)^2du-\int_{1/\sqrt e}^{1}(1+2\ln u)^2du\right\}.$$第一の積分は$1/6$。第二の積分では$$\displaystyle \frac{d}{du}\left[u\{5-4\ln u+4(\ln u)^2\}\right]=(1+2\ln u)^2$$を用いて$5-8/\sqrt e$を得る。従って$$\displaystyle V_2=\pi a^2\sqrt e\left(\frac16-5+\frac8{\sqrt e}\right)=\pi a^2\left(8-\frac{29\sqrt e}{6}\right).$$$V_1=V_2$、$a>0$より$$\displaystyle \frac{e}{6}=a\left(8-\frac{29\sqrt e}{6}\right),\qquad a=\frac{e}{48-29\sqrt e}.$$