3東海大学 2015年 数学 第3問解答・解説

(1) $f'(x)=ae^{ax}$ だから、$(t,e^{at})$ における接線は $$y-e^{at}=ae^{at}(x-t),\qquad y=ae^{at}x+(1-at)e^{at}$$ である。

(2) この接線が原点を通る条件は $(1-at)e^{at}=0$ である。$e^{at}>0$ より $t=1/a$ となり、接線は $y=ae x$ である。図形 $D$ は $0\leq x\leq1/a$ において曲線 $y=e^{ax}$ と直線 $y=ae x$ の間にある。実際、$h(x)=e^{ax}-ae x$ とおくと、この区間で $h'(x)=a(e^{ax}-e)\leq0$、かつ $h(1/a)=0$ なので $h(x)\geq0$ である。したがって $$\displaystyle \begin{aligned} \operatorname{Area}(D) &=\int_0^{1/a}(e^{ax}-ae x)\,dx\\ &=\frac{e-1}{a}-\frac{e}{2a} =\frac{e-2}{2a}. \end{aligned}$$

(3) $x$ 軸のまわりに回転すると、$0\le x\le1/a$ を満たす各 $x$ で外半径が $e^{ax}$、内半径が $ae x$ の円環ができる。よって $$\displaystyle \begin{aligned} V_x&=\pi\int_0^{1/a}\left(e^{2ax}-a^2e^2x^2\right)\,dx\\ &=\pi\left(\frac{e^2-1}{2a}-\frac{e^2}{3a}\right) =\frac{\pi(e^2-3)}{6a}. \end{aligned}$$

(4) $y=e^{ax}$ を $x$ について解くと $\displaystyle x=\frac1a\log y$ となる。変数を入れ替えれば逆関数は $$\displaystyle y=\frac1a\log x\qquad(x>0)$$ である。

(5) 部分積分により $$\displaystyle \int_1^e\log x\,dx=[x\log x-x]_1^e=1.$$ また $$\displaystyle \int_1^e(\log x)^2\,dx =[x(\log x)^2]_1^e-2\int_1^e\log x\,dx =e-2.$$

(6) $y$ 軸のまわりに回転する。$0\leq y\leq1$ では水平断面の半径は $0$ から $y/(ae)$ までである。$1\leq y\leq e$ では、曲線の逆関数と直線から $$\displaystyle \frac{\log y}{a}\leq x\leq\frac{y}{ae}$$ となる。したがって、円板・円環の断面積を積分して $$\displaystyle \begin{aligned} V_y &=\pi\int_0^1\left(\frac{y}{ae}\right)^2dy +\pi\int_1^e\left\{\left(\frac{y}{ae}\right)^2-\left(\frac{\log y}{a}\right)^2\right\}dy\\ &=\frac{\pi}{a^2e^2}\int_0^e y^2\,dy -\frac{\pi}{a^2}\int_1^e(\log y)^2\,dy\\ &=\frac{\pi e}{3a^2}-\frac{\pi(e-2)}{a^2} =\frac{2\pi(3-e)}{3a^2}. \end{aligned}$$