1東海大学 2015年 数学 第1問解答・解説

(1) 女子2人の選び方は $\displaystyle \binom82=28$ 通り、男子3人の選び方は $\displaystyle \binom{10}3=120$ 通りである。女子の選び方と男子の選び方を組み合わせればよいから、求める数は $$\displaystyle \binom82\binom{10}3=28\cdot120=3360$$ 通りである。

(2) 分子を有理化すると $$\displaystyle \sqrt{n^2+2n}-n =\frac{2n}{\sqrt{n^2+2n}+n} =\frac{2}{\sqrt{1+\frac2n}+1}.$$ したがって $n\to\infty$ のときの極限は $\displaystyle \frac{2}{1+1}=1$ である。

(3)(i) $[x^2]=4$ は $4\leq x^2<5$ と同値である。$x>0$ より、平方根をとって $$2\leq x<\sqrt5$$ を得る。

(ii) $m=[x]$, $n=[5/x]$ とおくと、$m,n$ は整数であり、$mn=3$ だから $(m,n)=(1,3)$ または $(3,1)$ である。

$(m,n)=(1,3)$ のとき、$1\leq x<2$ かつ $3\leq5/x<4$ である。$x>0$ に注意して後者を解くと $\displaystyle \frac54<x\leq\frac53$ となるので、この場合は $\displaystyle \frac54<x\leq\frac53$ である。

$(m,n)=(3,1)$ のとき、$3\leq x<4$ かつ $1\leq5/x<2$ である。後者は $\displaystyle \frac52<x\leq5$ と同値なので、この場合は $3\leq x<4$ である。以上より $$\displaystyle \frac54<x\leq\frac53\quad\text{または}\quad 3\leq x<4$$ である。

(4) 定義域は $x>1$ である。また $2\log_4 3=\log_2 3$, $2=\log_2 4$ だから、対数の性質により方程式は $$\log_2\bigl((x-1)(x+3)\bigr)=\log_2 12$$ と書ける。真数はいずれも正であり、底 $2$ の対数関数は一対一なので $$(x-1)(x+3)=12, \quad x^2+2x-15=0, \quad (x-3)(x+5)=0.$$ 候補は $x=3,-5$ だが、定義域 $x>1$ を満たすのは $x=3$ だけである。

(5) $\sin^3x=\sin x(1-\cos^2x)$ なので、原始関数は $\displaystyle -\cos x+\frac13\cos^3x$ である。よって $$\displaystyle \int_0^\pi\sin^3x\,dx =\left[-\cos x+\frac13\cos^3x\right]_0^\pi =\frac23-\left(-\frac23\right) =\frac43.$$