2東海大学 2015年 数学 第2問解答・解説

(1)(i) 与えられた漸化式から $$a_2=2a_1+2\cdot1+1=5,\qquad a_3=2a_2+2\cdot2+1=15$$ である。

(ii) $b_n=a_{n+1}-a_n$ とおく。まず $b_1=a_2-a_1=4$ である。また $$b_n=a_n+2n+1,$$ したがって $$\begin{aligned} b_{n+1}&=a_{n+1}+2(n+1)+1\\ &=2a_n+2n+1+2n+3\\ &=2(a_n+2n+1)+2=2b_n+2. \end{aligned}$$ ゆえに $b_1=4,\ b_{n+1}=2b_n+2$ である。

(iii) $c_n=b_n+2$ とおけば $$c_1=6,\qquad c_{n+1}=b_{n+1}+2=2b_n+4=2c_n.$$ よって $\{c_n\}$ は初項 $6$、公比 $2$ の等比数列であり、$c_n=6\cdot2^{n-1}=3\cdot2^n$、したがって $b_n=3\cdot2^n-2$ である。$a_{n+1}-a_n=b_n$ を用いて $$\displaystyle \begin{aligned} a_n&=a_1+\sum\limits _{k=1}^{n-1}b_k\\ &=1+\sum\limits _{k=1}^{n-1}(3\cdot2^k-2)\\ &=1+3(2^n-2)-2(n-1)=3\cdot2^n-2n-3. \end{aligned}$$

(2) $c_n=a_n+n^2+2n+3$ とおくと、条件から $$\begin{aligned} c_{n+1}&=a_{n+1}+(n+1)^2+2(n+1)+3\\ &=2a_n+n^2+n^2+2n+1+2n+2+3\\ &=2(a_n+n^2+2n+3)=2c_n. \end{aligned}$$ また $c_1=6$ だから $c_n=6\cdot2^{n-1}=3\cdot2^n$。したがって $$a_n=3\cdot2^n-n^2-2n-3$$ である。初項と漸化式に代入してもこの一般項を満たす。