12自治医科大学 2015年 数学 第12問解答・解説

漸化式の定数項を消すため，$b_n=a_n-6$ とおく。すると $$\displaystyle b_{n+1}=a_{n+1}-6=\frac{1}{3}a_n+4-6=\frac{1}{3}(a_n-6)=\frac{1}{3}b_n,\qquad b_1=-5.$$ したがって，この関係を繰り返すと $\displaystyle b_n=-5\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}$ であり， $$\displaystyle a_n=6-\frac{5}{3^{n-1}}.$$ よって，有限等比数列の和の公式から $$\displaystyle S_n=\sum\limits _{k=1}^{n}\left(6-\frac{5}{3^{k-1}}\right) =6n-5\frac{1-(1/3)^n}{1-1/3} =6n-\frac{15}{2}(1-3^{-n}).$$ したがって $$\displaystyle \frac{S_n}{n}=6-\frac{15}{2n}(1-3^{-n}).$$ $n\geq 1$ では $0<1-3^{-n}<1$ だから $$\displaystyle 0<\frac{15}{2n}(1-3^{-n})<\frac{15}{2n}.$$ 右端は $n\to\infty$ で $0$ に近づくので，差の項も $0$ に近づく。ゆえに $$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}\frac{S_n}{n}=6.$$ 選択肢では $6$ に対応する記号は $\text{マ}$ である。