1自治医科大学 2015年 数学 第1問解答・解説

整式を $$P(x)=x^4+ax^3+bx^2-25x-132$$ とおく。割る式は $$x^2+x-12=(x+4)(x-3)$$ と因数分解できる。したがって、因数定理より、割り切れるためには $$P(3)=0,\qquad P(-4)=0$$ でなければならない。

まず、 $$\begin{aligned} P(3)&=3^4+27a+9b-25\cdot3-132\\ &=27a+9b-126=0 \end{aligned}$$ より、 $$3a+b=14.$$ また、 $$\begin{aligned} P(-4)&=(-4)^4-64a+16b-25(-4)-132\\ &=-64a+16b+224=0 \end{aligned}$$ より、 $$-4a+b+14=0.$$ この二式から $b=4a-14$ なので、 $$3a+(4a-14)=14,$$ したがって $a=4, b=2$ である。

実際、 $$x^4+4x^3+2x^2-25x-132 =(x^2+x-12)(x^2+3x+11)$$ と因数分解できる。よって条件を満たし、 $$a+b=4+2=6.$$ 共通指示の選択肢対応では、6の記号は（マ）である。