鹿児島大学 2016年数学第2問解答・解説

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1問題

鹿児島大学2016年度第2問

次の各問いに答えよ。

(1) 整式 $P(x)$ を $0$ でない整式 $Q(x)$ で割った余りを $R(x)$ とおく。方程式 $P(x)=0$ と $Q(x)=0$ の共通解は方程式 $Q(x)=0$ と $R(x)=0$ の共通解であることを示せ。また逆に、方程式 $Q(x)=0$ と $R(x)=0$ の共通解は方程式 $P(x)=0$ と $Q(x)=0$ の共通解であることを示せ。

(2) 整式 $P(x),Q(x)$ を $P(x)=x^{4}+2x^{3}+x^{2}-1,\quad Q(x)=x^{3}+2x^{2}-1$ とおく。方程式 $P(x)=0$ と $Q(x)=0$ の共通解をすべて求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2考え方

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

PをQで割ったときの余りを求め、(1)の同値性を用いて共通解を二次方程式に帰着する。

3答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) 方程式 $P(x)=0,\space{}Q(x)=0$ の共通解と、方程式 $Q(x)=0,\space{}R(x)=0$ の共通解は一致する。 $\quad /\quad$ (2) $\displaystyle x=\frac{-1+\sqrt5}{2},\space{}\frac{-1-\sqrt5}{2}$

4解答

解答を見る途中式つきの解答

(1) 多項式の除法により、ある整式 $S(x)$ を用いて $P(x)=S(x)Q(x)+R(x)$ と表せる。 $P(a)=Q(a)=0$ ならば $R(a)=P(a)-S(a)Q(a)=0$ である。逆に $Q(a)=R(a)=0$ ならば $P(a)=S(a)Q(a)+R(a)=0$ である。したがって、2つの方程式系の共通解は一致する。

(2) 与えられた $P(x),Q(x)$ について $xQ(x)=x^4+2x^3-x$ だから $P(x)=xQ(x)+(x^2+x-1)$ である。(1)より、 $P(x)=0$ と $Q(x)=0$ の共通解は、 $Q(x)=0$ と $x^2+x-1=0$ の共通解に一致する。また $Q(x)=(x+1)(x^2+x-1)$ なので、 $x^2+x-1=0$ ならば $Q(x)=0$ でもある。よって求める共通解は $x^2+x-1=0$ の解であり、解の公式から $\displaystyle x=\frac{-1+\sqrt5}{2},\qquad x=\frac{-1-\sqrt5}{2}$ を得る。これらは $x^2+x-1=0$ を満たすため、上の因数分解と除法の等式から、それぞれ $Q(x)=0$ , $P(x)=0$ も満たす。

この問題で使う考え方

多項式の除法
剰余・因数定理
高次方程式
二次方程式とグラフ

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