5鹿児島大学 2016年 数学 第5問解答・解説

（1）$z=a+bi,\ w=c+di$（$a,b,c,d$ は実数）とおく。このとき $\overline z=a-bi,\ \overline w=c-di$ である。

(a) $$\overline{z+w}=\overline{(a+c)+(b+d)i}=(a+c)-(b+d)i=(a-bi)+(c-di)=\overline z+\overline w.$$ (b) $$\overline{zw}=\overline{(ac-bd)+(ad+bc)i}=(ac-bd)-(ad+bc)i,$$ 一方、$$\overline z\,\overline w=(a-bi)(c-di)=ac-bd-(ad+bc)i.$$ したがって $\overline{zw}=\overline z\,\overline w$ である。

（2）(a) 方程式の判別式は $D=(-1)^2-4\cdot1\cdot1=-3$ だから、解の公式より $$\displaystyle z=\frac{1\pm\sqrt{-3}}2=\frac12\pm\frac{\sqrt3}{2}i.$$ ここで $\displaystyle \alpha=\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i,\ \beta=\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i$ とする。いずれも絶対値は $\sqrt{(1/2)^2+(\sqrt3/2)^2}=1$ なので、極形式では $$\displaystyle \alpha=\cos\frac\pi3+i\sin\frac\pi3,\qquad \beta=\cos\left(-\frac\pi3\right)+i\sin\left(-\frac\pi3\right)$$ である。

(b) ド・モアブルの定理より $$\displaystyle \alpha^{100}+\beta^{100} =\cos\frac{100\pi}{3}+i\sin\frac{100\pi}{3} +\cos\left(-\frac{100\pi}{3}\right)+i\sin\left(-\frac{100\pi}{3}\right) =2\cos\frac{100\pi}{3}.$$ $100\pi/3=32\pi+4\pi/3$ であり、$32\pi$ は $2\pi$ の整数倍だから、$2\cos(100\pi/3)=2\cos(4\pi/3)=-1$。