1鹿児島大学 2016年 数学 第1問解答・解説

(1) $\triangle ABC$ の角の二等分線について，$DC=BC-BD=5-3=2$ である。角の二等分線の定理より $$\displaystyle \frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DC},\qquad \frac{6}{AC}=\frac32$$ となる。したがって $AC=4$ である。

(2) $n$ は $2$ と $3$ のいずれでも割り切れないから，$6$ で割った余りは $1$ または $5$ である。よって，ある整数 $k$ を用いて $n=6k+1$ または $n=6k-1$ と書ける。 $$n=6k+1\text{ のとき }n^2-1=12k(3k+1),\qquad n=6k-1\text{ のとき }n^2-1=12k(3k-1).$$ いずれも $6$ の倍数である。したがって $n^2-1$ は $6$ で割り切れる。

(3) $x\ge0$ なら $|x|=x$ なので，$x\le y\le1-x$ となる。この範囲が空でない条件は $x\le1/2$ である。$x\le0$ なら $|x|=-x$ なので，$-x\le y\le1+x$ となり，範囲が空でない条件は $x\ge-1/2$ である。したがって，求める領域は頂点 $$(0,0),\quad (1/2,1/2),\quad (0,1),\quad (-1/2,1/2)$$ をもつひし形の内部であり，境界を含む。図を次に示す。