2筑波大学 2016年 数学 第2問解答・解説

直線 $\ell$ は $x$ 軸となす角が $2\theta$ である。円 $C_1,C_2$ の中心はともに第1象限にあり、$x$ 軸と $\ell$ に接するので、その中心は両直線の内角の二等分線、すなわち $x$ 軸となす角が $\theta$ の半直線上にある。中心までの距離を $d$、半径を $r$ とすると、中心と接点を結んでできる直角三角形から $r=d\sin\theta$ である。

(1) $d_1=\sin2\theta$ より $$r_1=d_1\sin\theta=\sin2\theta\sin\theta=2\sin^2\theta\cos\theta.$$ また $d_1>d_2$ なので中心間距離は $d_1-d_2$ である。内接ならば $d_1-d_2=r_1-r_2=(d_1-d_2)\sin\theta$ となるが、$0<\sin\theta<1$ に反する。したがって $C_1,C_2$ は外接し、 $$d_1-d_2=r_1+r_2=(d_1+d_2)\sin\theta.$$ これを解くと $\displaystyle d_2=d_1\dfrac{1-\sin\theta}{1+\sin\theta}$ であり、よって $$\displaystyle r_2=d_2\sin\theta=\sin2\theta\sin\theta\frac{1-\sin\theta}{1+\sin\theta}=\frac{2\sin^2\theta(1-\sin\theta)^2}{\cos\theta}.$$

(2) 円の接点を $T$ とし、中心の方向の単位ベクトルを $\boldsymbol u=(\cos\theta,\sin\theta)$ とおく。$T$ は2中心の間にあるので、原点から $T$ までの距離は $$\rho=OT=d_1-r_1=\sin2\theta(1-\sin\theta)=2\sin\theta\cos\theta(1-\sin\theta).$$ 接線 $m$ は $T$ における半径に垂直だから、方程式は $x\cos\theta+y\sin\theta=\rho$ である。したがって $Q=(\rho/\cos\theta,0)$。また $P$ は $\ell$ 上にあり、$OP$ の方向は角 $2\theta$ なので、内積を用いると $OP\cos\theta=\rho$、すなわち $$\displaystyle P=\frac{\rho}{\cos\theta}(\cos2\theta,\sin2\theta).$$ よって $$\displaystyle PQ=\frac{\rho}{\cos\theta}\sqrt{(1-\cos2\theta)^2+\sin^22\theta}=\frac{2\rho\sin\theta}{\cos\theta}=4\sin^2\theta(1-\sin\theta).$$ $s=\sin\theta$ とおくと $\displaystyle 0<s<\dfrac{\sqrt2}{2}$ であり、$PQ=4s^2(1-s)$。この導関数は $4s(2-3s)$ である。$\displaystyle s=\dfrac23$ は範囲内にあり、導関数はその前で正、その後で負となる。したがって最大値は $$\displaystyle 4\left(\frac23\right)^2\left(1-\frac23\right)=\frac{16}{27}.$$

(3) 最大値を与えるとき $\displaystyle \sin\theta=\dfrac23,\ \cos\theta=\dfrac{\sqrt5}{3}$ である。このとき $\displaystyle \rho=\sin2\theta(1-\sin\theta)=\dfrac{4\sqrt5}{27}$ だから、$m$ は $$\displaystyle \frac{\sqrt5}{3}x+\frac23y=\frac{4\sqrt5}{27},\qquad y=-\frac{\sqrt5}{2}x+\frac{2\sqrt5}{9}.$$