6筑波大学 2016年 数学 第6問解答・解説

（1）$z=x+iy$（$x,y$ は実数）とおくと、$$|z-1|=|z+1|\text{であるための必要十分条件は} (x-1)^2+y^2=(x+1)^2+y^2\text{、すなわち} x=0.$$ 逆に $x=0$ なら両辺は等しい。したがって点の軌跡は虚軸である。 （2）$z=iy$（$y$ は実数で $y\ne0$）とおけば、$$\displaystyle w=\frac{iy+1}{iy}=1-\frac{i}{y}.$$ $-1/y$ は $0$ 以外のすべての実数を動くので、像は $\operatorname{Re}w=1$ の直線から $w=1$ を除いたもの、すなわち虚部が $0$ でない点全体である。 （3）$w=(z+1)/(z-a)$ で $a>0$ とする。$w=1$ は $z+1=z-a$ を要求して $a=-1$ となるため、像には含まれない。$w\ne1$ では$$\displaystyle z=\frac{aw+1}{w-1}.$$ $w=u+iv$ とおく。$z$ が虚軸上にある条件は $\operatorname{Re}z=0$ であり、$|w-1|^2>0$ を用いると$$\begin{aligned} 0&=\operatorname{Re}\bigl((aw+1)(\overline{w}-1)\bigr)\\ &=(au+1)(u-1)+av^2\\ &=a(u^2+v^2)+(1-a)u-1. \end{aligned}$$ 平方完成して$$\displaystyle \left(u-\frac{a-1}{2a}\right)^2+v^2=\left(\frac{a+1}{2a}\right)^2.$$ これは中心 $\displaystyle \left(\frac{a-1}{2a},0\right)$、半径 $\displaystyle \frac{a+1}{2a}$ の円である。$w=1$ はこの円上にあるが到達しない。また、この円上の $w\ne1$ に対し $z=(aw+1)/(w-1)$ と定めれば上の条件から $\operatorname{Re}z=0$ となり、$a>0$ なので $z\ne a$ である。従って像はこの円から $w=1$ を除いたもの全体である。 (2)の図は次の通り。青線は $\operatorname{Re}w=1$、白丸の $w=1$ は含まない。