秋田大学 2016年数学第6問解答・解説

平面上の曲線と複素数平面

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1問題

秋田大学2016年度第6問

i を虚数単位とする。複素数 z が等式 $\left|iz + 3\right| = \left|2z - 6\right|$ を満たすとき，次の問いに答えよ。

(i) この等式を満たす点 z 全体は、どのような図形を表すか答えよ。

(ii) z - $\bar{z} = 0$ を満たす z を求めよ。

(iii) $|z + i|$ の最大値を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(i) 中心 $4-i$ 、半径 $2\sqrt2$ の円。 (ii) $z=4\pm\sqrt7$ 。 (iii) 最大値 $4+2\sqrt2$ 。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

(i) $z=x+iy$ とおく。絶対値を二乗して $x^2+(y-3)^2=4\{(x-3)^2+y^2\}\text{すなわち} (x-4)^2+(y+1)^2=8.$ したがって中心 $4-i$ 、半径 $2\sqrt2$ の円である。

(ii) $z-\bar z=2iy=0$ から $y=0$ 。円の式より $(x-4)^2=7$ 、よって $z=4\pm\sqrt7$ 。

(iii) 中心を $c=4-i$ とすると $|z-c|=2\sqrt2$ だから $|z+i|=|(z-c)+4|\le |z-c|+4=2\sqrt2+4.$ $z-c=2\sqrt2$ 、すなわち $z=4+2\sqrt2-i$ は円上にあり等号を満たす。最大値は $4+2\sqrt2$ 。

この問題で使う考え方

絶対値
平方完成
三角不等式

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