1福島県立医科大学 2016年 数学 第1問解答・解説

(1) 点Pの座標を $(x,y,z)$ とする。条件 $AP=2BP$ を平方して、A、Bからの距離の二乗を座標で表すと $$(x-1)^2+(y+3)^2+(z+2)^2=4\{(x+2)^2+(y-3)^2+(z-1)^2\}.$$ 展開して平方完成すれば $$(x+3)^2+(y-5)^2+(z-2)^2=24.$$ 従ってPの軌跡は中心 $(-3,5,2)$、半径 $2\sqrt6$ の球面である。

(2) 真数条件から $x>1$。$u=\log_2x$ と置くと $u>0$、$\log_4x=u/2$ である。底の変換により $$\displaystyle \log_2(\log_4x)+\log_4(\log_2x) =\log_2(u/2)+\frac12\log_2u =\frac32\log_2u-1.$$ これが2未満である条件は $\log_2u<2$、すなわち $0<u<4$。$u=\log_2x$ に戻すと $$1<x<16.$$

(3) 法64で計算する。$5^4=625\equiv49\pmod{64}$、$5^8\equiv49^2\equiv33\pmod{64}$、さらに $5^{16}\equiv33^2\equiv1\pmod{64}$。$100=6\cdot16+4$ だから $$5^{100}=(5^{16})^6 5^4\equiv49\pmod{64}.$$ 従って余りは $49$。

(4) $j$ を $1$ から $n$ まで一つ固定する。$j$ は自然数なので非負であり、条件 $\sqrt{i}\le j$ を両辺平方すると $i\le j^2$ と同値である。従ってこの $j$ に対応する自然数 $i$ は $1,2,\ldots,j^2$ のちょうど $j^2$ 個。異なる $j$ の組は別々に数えるので、全個数は $$\displaystyle \sum\limits _{j=1}^{n}j^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}6.$$

(5) 複素数平面での頂点をそれぞれ $A=4z,\ B=3z+2,\ C=z^3$ と表す。まず $z=2$ なら $A=B=8$ となり、三角形は退化するため除く。$z\ne2$ のとき、辺 $AB$ を辺 $AC$ に移す複素数の倍率は $$\displaystyle \frac{C-A}{B-A}=\frac{z^3-4z}{2-z}.$$ 正三角形となるための必要十分条件は、二つの辺の長さが等しく、その向きの差が $60^\circ$ または $-60^\circ$ となること、すなわちこの比が $\omega=e^{i\pi/3}$ または $e^{-i\pi/3}$ となることである。よって $$z^3-4z=\omega(2-z),\qquad (z-2)(z^2+2z+\omega)=0.$$ $z=2$ はすでに除いたので $z^2+2z+\omega=0$、従って $$z=-1\pm\sqrt{1-\omega}.$$ $\omega=e^{i\pi/3}$ なら $1-\omega=e^{-i\pi/3}$ なので平方根は $\pm e^{-i\pi/6}$、$\omega=e^{-i\pi/3}$ なら平方根は $\pm e^{i\pi/6}$。従って求める値は $$z=-1\pm e^{i\pi/6},\qquad z=-1\pm e^{-i\pi/6}.$$

(6) 積分値を $$\displaystyle A=\int_0^\pi\cos t\,f(t)\,dt,\qquad B=\int_0^\pi\sin t\,f(t)\,dt$$ と置く。加法定理 $\sin(x-t)=\sin x\cos t-\cos x\sin t$ を元の式へ代入すれば $$f(x)=(1-B)\cos x+A\sin x.$$ これをA、Bの積分定義に代入する。$\displaystyle \int_0^\pi\cos^2t\,dt=\int_0^\pi\sin^2t\,dt=\pi/2$、$\displaystyle \int_0^\pi\sin t\cos t\,dt=0$ なので $$\displaystyle A=\frac\pi2(1-B),\qquad B=\frac\pi2 A.$$ 第2式を第1式に代入して $\displaystyle A=\frac\pi2(1-\frac\pi2A)$ を解くと $$\displaystyle A=\frac{2\pi}{\pi^2+4},\qquad B=\frac{\pi^2}{\pi^2+4}.$$ これらを $f(x)=(1-B)\cos x+A\sin x$ に戻して $$\displaystyle f(x)=\frac{4\cos x+2\pi\sin x}{\pi^2+4}.$$ 実際、この関数で積分値を計算すると $\displaystyle \int_0^\pi\cos t f(t)dt=A$、$\displaystyle \int_0^\pi\sin t f(t)dt=B$ となり、元の積分方程式を満たす。

(1) $P=(x,y,z)$ とする。$AP^2=4BP^2$ を展開・整理すると $x^2+y^2+z^2+6x-10y-4z+14=0$。平方完成して $(x+3)^2+(y-5)^2+(z-2)^2=24$。したがって球面で、中心は $(-3,5,2)$、半径は $2\sqrt6$。 (2) 対数の真数条件より $x>1$。$u=\log_2x>0$ とおけば $\log_4x=u/2$ なので左辺は $\displaystyle \log_2(u/2)+\frac12\log_2u=\frac32\log_2u-1$。これが2未満だから $\log_2u<2$、すなわち $0<u<4$。よって $1<x<16$。 (3) $5^8\equiv33\pmod{64}$、$5^{16}\equiv33^2\equiv1\pmod{64}$。$100=6\cdot16+4$ なので $5^{100}\equiv5^4\equiv625\equiv49\pmod{64}$。 (4) $j$ を1から$n$まで固定すると、$\sqrt{i}\leq j$ は $i\leq j^2$。自然数$i$は$1,\ldots,j^2$の$j^2$個。総数は $\displaystyle \sum\limits _{j=1}^n j^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}6$。 (5) $A,B,C$を表す複素数の差は $AB=2-z$、$AC=z^3-4z$。正三角形である必要十分条件は $AC=\omega AB$、$\omega=e^{\pm i\pi/3}$。従って $z^3+(\omega-4)z-2\omega=0=(z-2)(z^2+2z+\omega)$。$z=2$では$A=B$となるため除外。残りは $z=-1\pm\sqrt{1-\omega}$。$\omega=e^{i\pi/3}$なら $\sqrt{1-\omega}=\pm e^{-i\pi/6}$、$\omega=e^{-i\pi/3}$なら $\pm e^{i\pi/6}$。 (6) $\displaystyle A=\int_0^\pi\cos t f(t)\,dt$、$\displaystyle B=\int_0^\pi\sin t f(t)\,dt$ とおく。$\sin(x-t)=\sin x\cos t-\cos x\sin t$ より $f(x)=(1-B)\cos x+A\sin x$。これを積分定義に戻し、$\displaystyle \int_0^\pi\cos^2t\,dt=\int_0^\pi\sin^2t\,dt=\pi/2$、$\displaystyle \int_0^\pi\sin t\cos t\,dt=0$ を用いると $A=(1-B)\pi/2$、$B=A\pi/2$。よって $\displaystyle B=\frac{\pi^2}{\pi^2+4}$、$\displaystyle A=\frac{2\pi}{\pi^2+4}$、従って $\displaystyle f(x)=\frac{4\cos x+2\pi\sin x}{\pi^2+4}$。