2福島県立医科大学 2016年 数学 第2問解答・解説

(1) 辺 $AB$ の傾きは $-b$ である。正方形より $BC\perp AB$ だから、$BC$ の傾きは $1/b$ である。また $|AB|^2=1+b^2$ なので、$B$ から $C$ への変位を $(u,v)$ とすると、$v=u/b$ および $u^2+v^2=1+b^2$ を満たす。したがって $u^2=b^2$ となり、候補は $(u,v)=(b,1),(-b,-1)$ である。頂点が時計回りに並ぶ条件から $B$ から $C$ への変位は $(b,1)$ である。よって $C=(b,b+1)$。また正方形は平行四辺形でもあるから、$D-A=C-B=(b,1)$ であり、$D=(b+1,1)$。

(2) $E(-1,0)$ と $C(b,b+1)$ を結ぶ直線の傾きは $(b+1)/(b+1)=1$ だから、直線 $CE$ は $y=x+1$ である。これと $y$ 軸との交点は $F=(0,1)$。直線 $AB$ は $y=-b(x-1)=-bx+b$ である。これと $y=x+1$ の交点では $(b+1)x=b-1$ だから、$x=(b-1)/(b+1)$、$y=2b/(b+1)$ となる。よって $G\left((b-1)/(b+1),2b/(b+1)\right)$。

(3) $DF$ は水平なので、その垂直二等分線は $x=(b+1)/2$ である。$F,G$ はともに傾き $1$ の直線 $CE$ 上にある。線分 $FG$ の中点を $M$ とすると、 $$\displaystyle M\left(\frac{b-1}{2(b+1)},\frac{3b+1}{2(b+1)}\right),\qquad x_M+y_M=\frac{2b}{b+1}.$$ したがって、$FG$ の垂直二等分線は $x+y=2b/(b+1)$ である。これと $DF$ の垂直二等分線との交点を $O$ とすれば、 $$\displaystyle x_O=\frac{b+1}{2},\qquad y_O=\frac{2b}{b+1}-\frac{b+1}{2}=-\frac{(b-1)^2}{2(b+1)}.$$ $b>1$ より $F\ne G$ であり、$DF$ は水平、$FG$ の傾きは $1$ なので $D,F,G$ は一直線上にない。この交点は $D,F,G$ から等距離の点であり、求める外接円の中心である。

正方形の時計回り配置からBC=(b,1)となりC,Dを得る。CEはy=x+1で、FとGはその切片およびABとの交点。DF,FGの垂直二等分線を連立して外心を求める。