3浜松医科大学 2015年 数学 第3問解答・解説

(1) $l$ の傾きは $\displaystyle \dfrac{\sin t}{1+\cos t}=\tan\dfrac t2$、$m$ の傾きは $\sin t$ である。よって $l:y=\tan(t/2)(x+1)$、$m:y=x\sin t$。等置して $\tan(t/2)=\sin t/(1+\cos t)$ を用いると $x\cos t=1$ となるから $$R=(\sec t,\tan t).$$

(2) $\sec^2t-\tan^2t=1$ より $R=(x,y)$ は $x^2-y^2=1$ を満たす。もともと $x>0,y>0$ なので、逆に $x,y>0$ かつ $x^2-y^2=1$ なら $x=\sqrt{1+y^2}>1$ であり、$\sin t=y/x$ を満たす $0<t<\pi/2$ の唯一の角 $t$ とすれば $x=\sec t,y=\tan t$ となる。従って条件は $x^2-y^2=1$（$x>0,y>0$）。

(3) $C$ を $x^2-y^2=1$ と見ると、$R=(\sec t,\tan t)$ における接線 $n$ の傾きは $x_R/y_R=1/\sin t$ である。方向角を $\alpha=t/2$（$l$）、$\beta$（$m$）、$\gamma=\pi/2-\beta$（$n$）とおく。ここで、$\tan\beta=\sin t$ を満たす $0<\beta<\pi/4$ の角 $\beta$ をとる。$\tan(t/2)=\sin t/(1+\cos t)<\sin t$ だから $\alpha<\beta$、また $\beta<\pi/4<\gamma$。等しい鋭角の条件より $$\displaystyle \beta-\alpha=\gamma-\beta,\qquad 3\beta=\frac\pi2+\alpha.$$ $s=\sin t,c=\cos t$ とおいて正接を比較すると $$\displaystyle \frac{3s-s^3}{1-3s^2}=-\cot\alpha=-\frac{1+c}{s}.$$ $s^2=1-c^2$ を代入して整理すると $c(c+1)(c^2-4c+2)=0$。$0<c<1$ より $c=2-\sqrt2$ であり、従って $$P=(\cos t,\sin t)=(2-\sqrt2,\sqrt{4\sqrt2-5}).$$

(b) 接線 $n$ の方程式は $\sec t\,X-\tan t\,Y=1$ なので、$S=(\cos\phi,\sin\phi)$ について $$\cos\phi-\sin t\sin\phi=\cos t.$$ $\theta=\gamma-\alpha=\pi/2-\beta-\alpha$ とおけば $$\displaystyle \cos\theta-\sin t\sin\theta=\frac{\sin\alpha}{\cos\beta}.$$ $c=2-\sqrt2$ は $c^2-4c+2=0$ を満たし、$\sin^2\alpha=(1-c)/2=c^2/(2-c^2)=c^2\cos^2\beta$ だから $\sin\alpha/\cos\beta=c=\cos t$。よって $\theta$ は交点条件を満たす。さらに $\cos u-\sin t\sin u=\sqrt{1+\sin^2t}\cos(u+\beta)$ より、もう一つの交点の偏角は $-\pi/2+\alpha-\beta<0$。したがって正の $y$ 座標をもつ交点の偏角は $\phi=\theta$。