1北海道大学 2024年 数学 第1問解答・解説

(1) $s=\sin t$、$c=\cos t$ とする。点 $P$ と点 $Q$ が一致する条件は $$c^2-s^2=s,\qquad c=2sc.$$ 第2式は $c(1-2s)=0$ である。$c=0$ なら $s=\pm1$ であり、第1式を満たすのは $s=-1$ の場合だけである。これは $t=3\pi/2+2k\pi$ に対応する。もう一方の分岐 $s=1/2$ では第1式も成り立ち、$t=\pi/6+2k\pi$ または $5\pi/6+2k\pi$ を得る。以上がすべてである。

(2) 点 $P=(x,y)$ について $x=\cos2t=2\cos^2t-1=2y^2-1$。$0<t<2\pi$ で $y=\cos t$ は $-1\le y<1$ の全範囲をとる。$y=-1$ は $t=\pi$ でとり、$y=1$ は区間の端点でしかとらない。したがって軌跡は $$x=2y^2-1,\qquad -1\le y<1.$$ $x$軸との共有点は $y=0$ より $(-1,0)$。$y$軸との共有点は $x=0$ より $y=\pm1/\sqrt2$ なので、$(0,1/\sqrt2)$ と $(0,-1/\sqrt2)$ である。図では $(1,1)$ を白丸（含まない）、$(1,-1)$ を黒丸（含む）で示し、軸との共有点を座標付きで記した。