5北海道大学 2024年 数学 第5問解答・解説

$f(x)=x\log(x+2)+1$、$x>-2$。ここで$\log$は自然対数。

(1) 原点を通る正の傾きの接線 $x=a$での接線は$y=f'(a)(x-a)+f(a)$。これが原点を通る条件は$f(a)-af'(a)=0$。$$\displaystyle f'(x)=\log(x+2)+\frac{x}{x+2},\qquad f(a)-af'(a)=1-\frac{a^2}{a+2}=0.$$ よって$a^2=a+2$から$a=2$または$a=-1$。傾きは$\displaystyle f'(2)=\log4+\frac12>0$、$f'(-1)=-1<0$なので、求める直線は $$\displaystyle \boxed{\ell:\ y=\left(\log4+\frac12\right)x}.$$

(2) 下に凸であること $$\displaystyle f''(x)=\frac{1}{x+2}+\frac{2}{(x+2)^2}=\frac{x+4}{(x+2)^2}>0\qquad(x>-2).$$ したがって導関数$f'$は増加し、曲線$C$は定義域全体で下に凸。

(3) 囲まれた部分の面積 $C$は(1)の接線$\ell$に$x=2$で接し、$f(0)=1$なので、指定領域は$0\le x\le2$にある。下に凸より曲線は接線以上である。面積は $$\displaystyle \begin{aligned} A&=\int_0^2\left(x\log(x+2)+1-\left(\log4+\frac12\right)x\right)dx\\ &=2(1-\log2). \end{aligned}$$ 実際、部分積分により$\displaystyle \int_0^2 x\log(x+2)dx=1+2\log2$であり、上式に代入すればよい。$\boxed{A=2(1-\log2)}$。

高校範囲・論証： 数学IIIの対数関数の微分・積分、接線の方程式、二階導関数の符号による凸性、部分積分を使用。単元： 数学III「微分法・積分法」。方法： 接点条件を代数方程式に変換し、二階導関数で曲線位置を判断して定積分する。定理・公式： 接線公式、導関数と増減・凸性の関係、部分積分。テーマ： 対数関数の接線と囲まれた領域の面積。