2東京慈恵会医科大学 2024年 数学 第2問解答・解説

方程式の左辺を $\displaystyle h_a(x)=\log\frac{1+x}{ax}=\log(1+1/x)-\log a$ とおく。$1\le x\le2$ で $h_a$ は $\displaystyle h_a^\prime(x)=-\frac1{x(1+x)}<0$ より減少し、$1\le x_1<x_2\le2$ ならば $h_a(x_1)>h_a(x_2)$ が成り立つ。$h_a(x)=0$ は $1+1/x=a$、すなわち $x=c=1/(a-1)$ と同値である。条件 $1<a<2$ より $c>1$。$c>2$ は $1<a<3/2$ と同値で、このとき区間内に解はない。$c=2$ は $a=3/2$ で端点解が1個、$1<c<2$ は $3/2<a<2$ で区間内解が1個である。

次に $F(x)=(x+1)\log(x+1)-x\log x-1$ とおくと、$F^\prime(x)=\log((1+x)/x)$ である。これは $\log(1+x)$ と $\log x$ の積分を部分積分で求めても得られる。したがって $h_a(x)=F^\prime(x)-\log a$ である。$1<a\le3/2$ では $c\ge2$ なので $h_a\ge0$ が $1\le x\le2$ で成り立つ。よって $$S(a)=F(2)-F(1)-\log a=3\log3-4\log2-\log a.$$ $3/2<a<2$ では $1<c<2$、かつ $h_a$ は $c$ で符号が正から負へ変わる。従って $$\displaystyle S(a)=\int_1^c h_a(x)\,dx-\int_c^2h_a(x)\,dx=2F(c)-F(2)-F(1)+(3-2c)\log a.$$

最小値を調べる。第一の範囲では $S^\prime(a)=-1/a<0$。第二の範囲では $F^\prime(c)=\log((1+c)/c)=\log a$、$c^\prime(a)=-1/(a-1)^2$ だから、上の式を微分すると連鎖律と積の微分により $$\displaystyle S^\prime(a)=2\log a\,c^\prime-2c^\prime\log a+\frac{3-2c}{a}=\frac{3-2c}{a}.$$ $c=1/(a-1)$ より、これは $a<5/3$ で負、$a>5/3$ で正となる。従って最小値は $a=5/3$ でとる。このとき $c=3/2$ で $$\displaystyle S(5/3)=2F(3/2)-F(2)-F(1)=5\log(5/2)-3\log(3/2)-3\log3=\log\frac{3125}{2916}.$$