3東京慈恵会医科大学 2024年 数学 第3問解答・解説

(1) $f(k-1),f(k),f(k+1)$ は整数なので，二階差より $$f(k+1)-2f(k)+f(k-1)=2a\text{ は整数}.$$ また $$f(k+1)-f(k-1)=4ak+2b\text{ は整数}$$ であり，$4ak=2k(2a)\text{ は整数}$ だから $2b\text{ は整数}$ である。さらに $$2c=2f(k)-(2a)k^2-(2b)k\text{ は整数}.$$

$f(x)$ は $px-q$ で割り切れるから，$f(q/p)=0$ である。$u=q-pk$ とおくと、$u$ は整数であり、$q/p=k+u/p$ となる。二次式の展開から $$0=2p^2f(q/p)=2p^2f(k)+pu\{2f^\prime(k)\}+(2a)u^2.$$ ここで $2f^\prime(k)=4ak+2b=f(k+1)-f(k-1)$ は整数である。したがって右辺の最初の二項は $p$ の倍数であり，$p\mid(2a)u^2$ を得る。また $\gcd(u,p)=\gcd(q-pk,p)=\gcd(q,p)=1$ だから，互いに素な整数の性質より $p\mid 2a$。ゆえに $2a/p$ は整数である。

次に $f(q/p)=0$ を分母払いして2倍すると $$(2a)q^2+(2b)pq+(2c)p^2=0.$$ $2a,2b,2c$ は整数なので，この式を $q$ で見ると $q\mid(2c)p^2$ である。$\gcd(p^2,q)=1$ より $q\mid2c$。従って $2c/q$ も整数である。

(2) は反例で否定される。$p=q=1$ は互いに素な自然数であり，$\displaystyle f(x)=\frac12x^2-\frac12x=\frac{x(x-1)}2$ は $x-1$ で割り切れる。$k=1$ とすると $f(0)=0,\ f(1)=0,\ f(2)=1$ はすべて整数で，二次係数 $a=1/2\ne0$ である。しかし $a/p=1/2\text{ は整数でない}$ なので，命題は正しくない。