2浜松医科大学 2026年 数学 第2問解答・解説

答案Aでは、$f(k)$が整数であることから、 直ちに素因数分解可能と結論しているが、定義上$0,1,-1$は素因数分解可能ではない。

また、$f(0)=0$の場合、答案Aの選び方では$k=0$となり$f(k)=0$である。

したがって、$f(k)$の絶対値を$1$より大きくする条件が必要である。

そこで$f(x)$の次数を$d$とする。$f(x)$は零多項式ではないから、その整数の根は高々$d$個である。よって$f(c)\ne 0$となる整数$c$を選べる。$A=f(c)$、$P=p_1p_2\cdots p_n$とおくと、$AP\ne 0$である。

多項式の因数定理により、ある整数係数多項式$g(x)$を用いて$f(x)-f(c)=(x-c)g(x)$と表せる。正整数$m$に対し$k=c+APm$とおけば、 $$f(k)=A+(k-c)g(k)=A+APm g(k)=A\bigl(1+Pm g(k)\bigr).$$ ここで$m$を大きくすると$|k|\to\infty$であり、$f$は次数が1以上の多項式だから$|f(k)|\to\infty$。したがって、$|f(k)|>|A|$となる正整数$m$を選べる。このとき$Q=1+Pm g(k)$とおけば$|Q|=|f(k)|/|A|>1$である。また、各$i=1,2,\ldots,n$について$Q\equiv 1\pmod{p_i}$だから、$p_i$はいずれも$Q$を割り切らない。$|Q|>1$より$Q$は素因数をもち、その素因数は$p_1,\ldots,p_n$のいずれとも異なる。

さらに$|f(k)|>|A|\ge 1$だから$|f(k)|>1$であり、$f(k)$は定義どおり素因数分解可能である。一方、$f(k)=AQ$なので$Q$の素因数は$f(k)$を割り切る。したがって$f(k)$は$p_1,p_2,\ldots,p_n$のみを用いて素因数分解することはできない。以上で示された。