4東京慈恵会医科大学 2024年 数学 第4問解答・解説

まず，平面 $ABC$ は $AB$ に平行な $x$ 軸方向を含むので，その方程式は $y,z$ の一次式である。点 $A,B,C$ を代入すると $\sqrt3y+z=2$ を得る。法線ベクトルを $\mathbf n=(0,\sqrt3,1)$ とおくと $H$ は $O$ からこの法線方向にあり，$H=\lambda\mathbf n$ と書ける。平面上の条件 $3\lambda+\lambda=2$ から $\lambda=1/2$、従って $H=(0,\sqrt3/2,1/2)$ である。

平面上の点 $(x,y,z)$ が円板 $D$ に属する条件は，中心 $H$ からの距離が1以下となることである。平面式から $\displaystyle z-\frac12=-\sqrt3(y-\frac{\sqrt3}{2})$ なので $$\displaystyle x^2+(y-\frac{\sqrt3}{2})^2+(z-\frac12)^2=x^2+4(y-\frac{\sqrt3}{2})^2=x^2+\frac43(z-\frac12)^2.$$ よって $D$ は $\displaystyle x^2+\frac43(z-\frac12)^2\le1$ と表せる。平面 $z=t$ が $D$ と交わるためには，この不等式を満たす $x$ が存在すればよい。従って $\displaystyle \frac43(t-\frac12)^2\le1$、すなわち $\displaystyle \frac{1-\sqrt3}{2}\le t\le\frac{1+\sqrt3}{2}$ である。

次に高さ $z$ を固定する。$y=(2-z)/\sqrt3$ はこの区間で正であり，円板の断面は $-X\le x\le X$、ただし $\displaystyle X^2=1-\frac43(z-\frac12)^2$ となる。回転後，この線分上の点がつくる半径は $r=\sqrt{x^2+y^2}$ である。$x=0$ で最小半径 $y$、$x=\pm X$ で最大半径 $\sqrt{y^2+X^2}$ をとり，途中の半径もすべて実現するので，回転体の高さ $z$ の断面はこの内半径・外半径の円環である。その面積は $$\displaystyle \pi\{(y^2+X^2)-y^2\}=\pi X^2=\pi\left(1-\frac43(z-\frac12)^2\right).$$ 従って，$\displaystyle u=z-\frac12$ とおけば $$\displaystyle V=\pi\int_{-\sqrt3/2}^{\sqrt3/2}(1-\frac43u^2)\,du=\pi[u-\frac49u^3]_{-\sqrt3/2}^{\sqrt3/2}=\frac{2\pi\sqrt3}{3}.$$