3岡山大学 2020年 数学 第3問解答・解説

点P,Qはともに4秒で出発点へ戻るので，時刻は$0\le t\le4$だけ考えればよい。高さ$z$において線分$PQ$上にある点を$X_z(t)$とする。$P$の$z$座標は$0$，$Q$の$z$座標は$1$だから，線分上の内分点の公式より $$X_z(t)=(1-z)P(t)+zQ(t)\qquad (0\leq z\leq 1).$$ 時刻$t=0,1,2,3,4$における$X_z(t)$の$xy$座標は，順に $$(0,0),\quad (1-z,z),\quad (1,1),\quad (z,1-z),\quad (0,0)$$ である。各整数時刻の間では$P,Q$がそれぞれ辺上を等速で動くため，$X_z(t)$もこの隣り合う点を結ぶ線分上を動く。したがって高さ$z$の切り口は，頂点$O'=(0,0),\ U_z=(1-z,z),\ W=(1,1),\ V_z=(z,1-z)$をこの順に結ぶ平行四辺形である。

対角線$O'W$の長さは$\sqrt{2}$で，その直線は$y=x$である。点$U_z,V_z$から直線$y=x$までの距離はいずれも $$\displaystyle \frac{|(1-z)-z|}{\sqrt{2}}=\frac{|1-2z|}{\sqrt{2}}$$ である。対角線O'Wで平行四辺形を二つの三角形に分けると，各三角形の面積は $$\displaystyle \frac12\cdot\sqrt{2}\cdot\frac{|1-2z|}{\sqrt{2}}=\frac{|1-2z|}{2}.$$ よって高さ$z$の切り口の面積を$A(z)$とすれば $$A(z)=|1-2z|.$$

(1) $\displaystyle 0\le a<\frac12$より$|1-2a|=1-2a$であるから，求める面積は $$\boxed{1-2a}.$$

(2) 断面積を高さについて積分すると $$\displaystyle \begin{aligned} \operatorname{Vol}(K) &=\int_0^1 A(z)\,dz\\ &=\int_0^{1/2}(1-2z)\,dz+\int_{1/2}^1(2z-1)\,dz\\ &=[z-z^2]_0^{1/2}+[z^2-z]_{1/2}^1\\ &=\frac14+\frac14=\boxed{\frac12}. \end{aligned}$$