岡山大学 2020年数学第4問解答・解説

二次関数図形と方程式

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1問題

岡山大学2020年度第4問

$a$ を正の数とする。 $xy$ 平面において，点 $A(a,0)$ をとり， $C_1$ を双曲線 $x^2-4y^2=-4$ とし， $C_2$ を双曲線 $x^2-4y^2=4$ とする。以下の問いに答えよ。

(1) 点 $P$ が $C_1$ 上にあるとする。このとき $AP$ を最小にする点 $P$ とその最小値を求めよ。

(2) 点 $P$ が $C_2$ 上にあるとする。このとき $AP$ を最小にする点 $P$ とその最小値を求めよ。

(3) 点 $P$ が $C_1$ または $C_2$ 上にあるとする。このとき点 $(2,0)$ が， $AP$ の最小値を与える点 $P$ となるような $a$ の値の範囲を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2解答

解答を見る答えはこの解答の中にあります

数理点検距離の二乗を各曲線の式で一変数にし、平方完成して枝の定義域を含めて最小値を比較した。 $C_2$ 左枝と右枝の比較、 $\displaystyle a=\frac52$ の境界、 $C_1$ との比較で生じる端点の等号を再計算した。結論は採用答案と一致し、(3)左端では同距離の $C_1$ 上の点もあることを明記した。全て二次式の平方完成・不等式処理の高校範囲である。

入力・旧採用答案の記録

この問題で使う考え方

座標による距離
二次関数の最大・最小
二次不等式とグラフ

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