2東北大学 2020年 数学 第2問解答・解説

円 $C$ の方程式を平方完成すると $$(x-a)^2+(y-2)^2=a^2$$ となる。したがって中心は $O=(a,2)$、半径は $|a|$ である。

(1) 直線 $L,M$ の交点は $$-4x+3y=-a,\qquad 3x+4y=7a$$ を解いて $R=(a,a)$。これが円 $C$ 上にある条件は $$(a-a)^2+(a-2)^2=a^2 \quad\text{すなわち}\quad -4a+4=0.$$ よって $a=1$。

(2) 中心 $O=(a,2)$ と直線 $L:-4x+3y+a=0$ の距離は $$\displaystyle d_L=\frac{|-4a+6+a|}{\sqrt{(-4)^2+3^2}} =\frac{3|2-a|}{5}.$$ 円と直線が異なる2点で交わる条件は $d_L<|a|$ だから $$\displaystyle 9(2-a)^2<25a^2 \quad\text{すなわち}\quad 4a^2+9a-9>0 \quad\text{すなわち}\quad a<-3\ \text{または}\ a>\frac34.$$

(3) $L,M$ は平行でなく、その交点は常に $R=(a,a)$ である。したがって集合 $C\cap L$ と $C\cap M$ が共通点をもつのは 点 $R$ が円 $C$ 上にある場合、すなわち (1) より $a=1$ の場合に限る。このとき半径は $1$ であり、 $$\displaystyle d_L=\frac35<1,\qquad d_M=\frac{|3a+8-7a|}{5}=\frac45<1.$$ 両直線はそれぞれ円と2点で交わり、交点 $R$ を共有するから、和集合の要素数は $2+2-1=3$。

$a\ne1$ では2つの共有点集合は互いに素である。和集合の要素数が3となるには、一方の直線が円に接し、他方が円と2点で交わればよい。$M$ の中心からの距離は $$\displaystyle d_M=\frac{|3a+8-7a|}{5}=\frac{4|2-a|}{5}.$$ $M$ が接線となる条件は $$\displaystyle d_M=|a| \quad\text{すなわち}\quad 9a^2+64a-64=0 \quad\text{すなわち}\quad a=-8,\ \frac89.$$ この2値はどちらも (2) の範囲 $a<-3$ または $\displaystyle a>\frac34$ に入り、$L$ は円と2点で交わる。逆に $L$ が接線となる値は (2) の境界 $\displaystyle a=-3,\frac34$ だが、いずれも $M$ は円と2点で交わらない。以上から求める値は $$\displaystyle a=-8,\ \frac89,\ 1.$$