4北海道大学 2018年 数学 第4問解答・解説

(1)　 $Q=(x,y)$ とする。$\mathrm{BQ}\ge\mathrm{OQ}$ は両辺が距離で非負なので、平方して比較してよい。 $$(x-11)^2+(y-11)^2\ge x^2+y^2 \quad\text{すなわち}\quad x+y\le11.$$ また、$\mathrm{OQ}\ge2\mathrm{AQ}$ も同様に平方すると $$\displaystyle x^2+y^2\ge4\left\{\left(x-\frac{15}{2}\right)^2+y^2\right\} \quad\text{すなわち}\quad x^2+y^2-20x+75\le0 \quad\text{すなわち}\quad (x-10)^2+y^2\le25.$$ したがって $D$ は、中心 $(10,0)$、半径 $5$ の円の内部で、直線 $x+y=11$ の $x+y\le11$ 側にある部分である。境界も含む。図では円と直線の交点を結ぶ弦を境として、中心 $(10,0)$ を含む側を表せばよい。

$\mathrm{BQ}=\mathrm{OQ}$ の境界は $x+y=11$、$\mathrm{OQ}=2\mathrm{AQ}$ の境界は $(x-10)^2+y^2=25$ である。$y=11-x$ を円の式に代入すると $$(x-10)^2+(11-x)^2=25 \quad\text{すなわち}\quad x^2-21x+98=0 \quad\text{すなわち}\quad (x-7)(x-14)=0.$$ よって交点、すなわち両方の等号が成り立つ点は $(7,4)$ と $(14,-3)$ である。

(2)　 $D$ 内の点を $Q=(x,y)$ とする。$\mathrm{OQ}\ge\mathrm{PQ}$ は平方して $$x^2+y^2\ge(x-p)^2+(y-11)^2 \quad\text{すなわち}\quad 2px+22y\ge p^2+121$$ と同値である。ここで $0<p\le11$ とする。$D$ 内の任意の点 $Q$ に対し、$x+y\le11$ より $$2px+22y=2px+22(11-x)+22(x+y-11) \le 242+(2p-22)x.$$ ただしこれだけでは $x$ の範囲に応じた評価が必要なので、場合分けする。

$x\ge7$ のとき、$2p-22\le0$ なので $$2px+22y\le242+(2p-22)x\le242+7(2p-22)=14p+88.$$ $x<7$ のとき、円内の条件から $$y^2\le25-(x-10)^2\le16,$$ ゆえに $y\le4$ である。さらに $p>0$ かつ $x<7$ だから $$2px+22y\le14p+88.$$ したがって $D$ 上で $2px+22y$ の最大値は $14p+88$ であり、$D$ 内の点 $Q=(7,4)$ で実際にこの値をとる。求める $Q$ が存在する条件は $$14p+88\ge p^2+121 \quad\text{すなわち}\quad (p-3)(p-11)\le0.$$ これと $0<p\le11$ を合わせると $3\le p\le11$ を得る。