2金沢大学 2006年 数学 第2問解答・解説

(1) $s=\sin\theta,c=\cos\theta$ とする。直線 $QR$ 上の点を $(ts,\sqrt2+tc)$ と表すと，円との交点条件は $t^2+2\sqrt2ct-1=0$。 二根は $t_R=-\sqrt2c+\sqrt{1+2c^2}>0$ と $t_Q=-\sqrt2c-\sqrt{1+2c^2}<0$。 原点からの距離の二乗は $t^2+2\sqrt2ct+2$ であり，最小になる $t_S=-\sqrt2c$ は二根の間にある。従って $$OS=\sqrt2s,\qquad QR=t_R-t_Q=2\sqrt{1+2c^2}.$$ (2) 底辺 $AB=2\sqrt3$。$Q,R$ の $AB$ からの距離はそれぞれ $QP\sin\theta,PR\sin\theta$ なので，指定された両面積公式が得られる。 $Q,R$ は $AB$ の反対側にあるから $$S(\theta)=T_1+T_2=\sqrt3\sin\theta\,QR=2\sqrt3\sin\theta\sqrt{1+2\cos^2\theta}.$$ (3) 両辺正なので平方できる。$0<x=\sin^2\theta<1$ とおけば $$2\sqrt3<S(\theta)\quad\text{すなわち}\quad1<x(3-2x)\quad\text{すなわち}\quad(2x-1)(x-1)<0\quad\text{すなわち}\quad1/2<x<1.$$ 従って $\pi/4<\theta<\pi/2$。