以下 s = sin θ , c = cos θ , S = s + c とおく。 0 < s , c < 1 , s 2 + c 2 = 1 である。直線 l の係数の平方和は 1 なので、点 ( x , y ) と l の距離は ∣ s x + c y − 1 ∣ である。 まず D 内の円の中心を O 1 = ( R , y 1 ) , O 2 = ( x 2 , R ) とする。円が l に接し、全体が D に含まれるから、各中心は s x + c y − 1 = R を満たす。したがって s R + c y 1 = 1 + R , s x 2 + c R = 1 + R , y 1 = 1 + R ( 1 − s ) c , x 2 = 1 + R ( 1 − c ) s . k = 1 − R ( S − 1 ) とおくと、 x 2 − R = k s , y 1 − R = k c である。よって s 2 + c 2 = 1 より ∣ O 1 O 2 ∣ = ( k s ) 2 + ( k c ) 2 = ∣ k ∣ s c . C 1 , C 2 は外接するので ∣ O 1 O 2 ∣ = 2 R である。 k ≧ 0 のとき 1 − R ( S − 1 ) = 2 R s c から R = 1 S − 1 + 2 s c . k < 0 と仮定すると R ( S − 1 ) − 1 = 2 R s c 、すなわち R ( S − 1 − 2 s c ) = 1 となる。しかし S − 1 − 2 s c < 0 , 2 s c − ( S − 1 ) = 1 − s − c + 2 s c = ( 1 − s ) ( 1 − c ) + s c > 0 であるから不可能である。よって上の R が唯一の半径である。 次に D ′ 内の円の中心を O 1 ′ = ( r , y 1 ′ ) , O 2 ′ = ( x 2 ′ , r ) とする。中心は s x + c y − 1 = − r を満たすから s r + c y 1 ′ = 1 − r , s x 2 ′ + c r = 1 − r , y 1 ′ = 1 − r ( 1 + s ) c , x 2 ′ = 1 − r ( 1 + c ) s . k ′ = 1 − r ( 1 + S ) とおけば x 2 ′ − r = k ′ s , y 1 ′ − r = k ′ c なので、 ∣ O 1 ′ O 2 ′ ∣ = ∣ k ′ ∣ s c . また両中心は第1象限にあるため、 M = max ( s , c ) とおくと r ≦ 1 1 + M である。外接条件 ∣ O 1 ′ O 2 ′ ∣ = 2 r を考える。 k ′ ≧ 0 のとき 1 − r ( 1 + S ) = 2 r s c より r = 1 1 + S + 2 s c . この値は 1 + S + 2 s c = 1 + M + min ( s , c ) + 2 s c > 1 + M より上の条件を満たす。 k ′ < 0 のとき r ( 1 + S ) − 1 = 2 r s c より r = 1 1 + S − 2 s c となる。 M ≧ 1 / 2 > 1 / 2 と m = min ( s , c ) > 0 を用いると 1 + S − 2 s c = 1 + M + m ( 1 − 2 M ) < 1 + M , したがって r > 1 / ( 1 + M ) となり、中心が第1象限にある条件に反する。この場合は起こらない。よって r = 1 1 + S + 2 s c . 以上から r R = S + 2 s c − 1 S + 2 s c + 1 . さらに S = sin θ + cos θ = 2 cos ( θ − π / 4 ) なので、 0 < θ < π / 2 のとき 1 < S ≦ 2 であり、最大値 2 は θ = π / 4 でとる。 T = S + 2 s c とおくと S 2 = 1 + 2 s c から T = S 2 + S − 1 である。これは S > 1 で増加するから 1 < T ≦ 1 + 2 となる。関数 ( T − 1 ) / ( T + 1 ) も T > 1 で増加するので、その下限は 0 （ただし到達しない）、最大値は ( 1 + 2 ) − 1 ( 1 + 2 ) + 1 = 2 2 + 2 = 2 − 1 である。したがって求める範囲は 0 < r R ≦ 2 − 1. \displaystyle \text{以下 }s=\sin\theta,\ c=\cos\theta,\ S=s+c\text{ とおく。}0<s,c<1,\ s^2+c^2=1\text{ である。直線 }l\text{ の係数の平方和は }1\text{ なので、点 }(x,y)\text{ と }l\text{ の距離は }|sx+cy-1|\text{ である。}\\
\text{まず }D\text{ 内の円の中心を }O_1=(R,y_1),\ O_2=(x_2,R)\text{ とする。円が }l\text{ に接し、全体が }D\text{ に含まれるから、各中心は }sx+cy-1=R\text{ を満たす。したがって}\\
sR+cy_1=1+R,\qquad sx_2+cR=1+R,\\
y_1=\frac{1+R(1-s)}{c},\qquad x_2=\frac{1+R(1-c)}{s}.\\
k=1-R(S-1)\text{ とおくと、}x_2-R=\frac{k}{s},\ y_1-R=\frac{k}{c}\text{ である。よって }s^2+c^2=1\text{ より}\\
|O_1O_2|=\sqrt{\left(\frac{k}{s}\right)^2+\left(\frac{k}{c}\right)^2}=\frac{|k|}{sc}.\\
C_1,C_2\text{ は外接するので }|O_1O_2|=2R\text{ である。}k\geq0\text{ のとき }1-R(S-1)=2Rsc\text{ から}\\
R=\frac{1}{S-1+2sc}.\\
k<0\text{ と仮定すると }R(S-1)-1=2Rsc\text{、すなわち }R(S-1-2sc)=1\text{ となる。しかし}\\
S-1-2sc<0,\qquad 2sc-(S-1)=1-s-c+2sc=(1-s)(1-c)+sc>0\\
\text{であるから不可能である。よって上の }R\text{ が唯一の半径である。}\\
\text{次に }D'\text{ 内の円の中心を }O'_1=(r,y'_1),\ O'_2=(x'_2,r)\text{ とする。中心は }sx+cy-1=-r\text{ を満たすから}\\
sr+cy'_1=1-r,\qquad sx'_2+cr=1-r,\\
y'_1=\frac{1-r(1+s)}{c},\qquad x'_2=\frac{1-r(1+c)}{s}.\\
k'=1-r(1+S)\text{ とおけば }x'_2-r=\frac{k'}{s},\ y'_1-r=\frac{k'}{c}\text{ なので、 }|O'_1O'_2|=\frac{|k'|}{sc}.\\
\text{また両中心は第1象限にあるため、}M=\max(s,c)\text{ とおくと }r\leq\frac{1}{1+M}\text{ である。外接条件 }|O'_1O'_2|=2r\text{ を考える。}\\
k'\geq0\text{ のとき }1-r(1+S)=2rsc\text{ より }r=\frac{1}{1+S+2sc}.\\
\text{この値は }1+S+2sc=1+M+\min(s,c)+2sc>1+M\text{ より上の条件を満たす。}\\
k'<0\text{ のとき }r(1+S)-1=2rsc\text{ より }r=\frac{1}{1+S-2sc}\text{ となる。}M\geq1/\sqrt2>1/2\text{ と }m=\min(s,c)>0\text{ を用いると}\\
1+S-2sc=1+M+m(1-2M)<1+M,\\
\text{したがって }r>1/(1+M)\text{ となり、中心が第1象限にある条件に反する。この場合は起こらない。よって}\\
r=\frac{1}{1+S+2sc}.\\
\text{以上から}\\
\frac{r}{R}=\frac{S+2sc-1}{S+2sc+1}.\\
\text{さらに }S=\sin\theta+\cos\theta=\sqrt2\cos(\theta-\pi/4)\text{ なので、}0<\theta<\pi/2\text{ のとき }1<S\leq\sqrt2\text{ であり、最大値 }\sqrt2\text{ は }\theta=\pi/4\text{ でとる。}T=S+2sc\text{ とおくと }S^2=1+2sc\text{ から }T=S^2+S-1\text{ である。これは }S>1\text{ で増加するから }1<T\leq1+\sqrt2\text{ となる。関数 }(T-1)/(T+1)\text{ も }T>1\text{ で増加するので、その下限は }0\text{（ただし到達しない）、最大値は}\\
\frac{(1+\sqrt2)-1}{(1+\sqrt2)+1}=\frac{\sqrt2}{2+\sqrt2}=\sqrt2-1\\
\text{である。したがって求める範囲は}\\
0<\frac{r}{R}\leq\sqrt2-1. 以下 s = sin θ , c = cos θ , S = s + c とおく。 0 < s , c < 1 , s 2 + c 2 = 1 である。直線 l の係数の平方和は 1 なので、点 ( x , y ) と l の距離は ∣ s x + cy − 1∣ である。 まず D 内の円の中心を O 1 = ( R , y 1 ) , O 2 = ( x 2 , R ) とする。円が l に接し、全体が D に含まれるから、各中心は s x + cy − 1 = R を満たす。したがって s R + c y 1 = 1 + R , s x 2 + c R = 1 + R , y 1 = c 1 + R ( 1 − s ) , x 2 = s 1 + R ( 1 − c ) . k = 1 − R ( S − 1 ) とおくと、 x 2 − R = s k , y 1 − R = c k である。よって s 2 + c 2 = 1 より ∣ O 1 O 2 ∣ = ( s k ) 2 + ( c k ) 2 = sc ∣ k ∣ . C 1 , C 2 は外接するので ∣ O 1 O 2 ∣ = 2 R である。 k ≧ 0 のとき 1 − R ( S − 1 ) = 2 R sc から R = S − 1 + 2 sc 1 . k < 0 と仮定すると R ( S − 1 ) − 1 = 2 R sc 、すなわち R ( S − 1 − 2 sc ) = 1 となる。しかし S − 1 − 2 sc < 0 , 2 sc − ( S − 1 ) = 1 − s − c + 2 sc = ( 1 − s ) ( 1 − c ) + sc > 0 であるから不可能である。よって上の R が唯一の半径である。 次に D ′ 内の円の中心を O 1 ′ = ( r , y 1 ′ ) , O 2 ′ = ( x 2 ′ , r ) とする。中心は s x + cy − 1 = − r を満たすから sr + c y 1 ′ = 1 − r , s x 2 ′ + cr = 1 − r , y 1 ′ = c 1 − r ( 1 + s ) , x 2 ′ = s 1 − r ( 1 + c ) . k ′ = 1 − r ( 1 + S ) とおけば x 2 ′ − r = s k ′ , y 1 ′ − r = c k ′ なので、 ∣ O 1 ′ O 2 ′ ∣ = sc ∣ k ′ ∣ . また両中心は第 1 象限にあるため、 M = max ( s , c ) とおくと r ≦ 1 + M 1 である。外接条件 ∣ O 1 ′ O 2 ′ ∣ = 2 r を考える。 k ′ ≧ 0 のとき 1 − r ( 1 + S ) = 2 r sc より r = 1 + S + 2 sc 1 . この値は 1 + S + 2 sc = 1 + M + min ( s , c ) + 2 sc > 1 + M より上の条件を満たす。 k ′ < 0 のとき r ( 1 + S ) − 1 = 2 r sc より r = 1 + S − 2 sc 1 となる。 M ≧ 1/ 2 > 1/2 と m = min ( s , c ) > 0 を用いると 1 + S − 2 sc = 1 + M + m ( 1 − 2 M ) < 1 + M , したがって r > 1/ ( 1 + M ) となり、中心が第 1 象限にある条件に反する。この場合は起こらない。よって r = 1 + S + 2 sc 1 . 以上から R r = S + 2 sc + 1 S + 2 sc − 1 . さらに S = sin θ + cos θ = 2 cos ( θ − π /4 ) なので、 0 < θ < π /2 のとき 1 < S ≦ 2 であり、最大値 2 は θ = π /4 でとる。 T = S + 2 sc とおくと S 2 = 1 + 2 sc から T = S 2 + S − 1 である。これは S > 1 で増加するから 1 < T ≦ 1 + 2 となる。関数 ( T − 1 ) / ( T + 1 ) も T > 1 で増加するので、その下限は 0 （ただし到達しない）、最大値は ( 1 + 2 ) + 1 ( 1 + 2 ) − 1 = 2 + 2 2 = 2 − 1 である。したがって求める範囲は 0 < R r ≦ 2 − 1.
