2大阪大学 2004年 数学 第2問解答・解説

(1)

$p>2q\ge4$ だから $p$ は奇素数であり，$p\ne q$。したがって $\gcd(p,q)=1$ である。与式から $$a_1=p+4q,\qquad a_2=p^2-4q^2.$$ $m\mid a_1$ かつ $m\mid a_2$ と仮定する。$q\nmid a_1$ なので $\gcd(m,q)=1$ である。また $p\equiv-4q\pmod m$ より $$0\equiv a_2=p^2-4q^2\equiv16q^2-4q^2=12q^2\pmod m.$$ よって $m\mid12q^2$ であり，$\gcd(m,q)=1$ から $m\mid12$。さらに $a_1=p+4q$ は奇数なので $m$ も奇数である。$m>1$ かつ $m\mid12$ より $m=3$。

(2)

$n=1$ のとき $a_1=p+4q\equiv p+q\pmod3$ だから，すべての $a_n$ が $3$ の倍数ならば $p\equiv-q\pmod3$ である。逆にこの合同式が成り立てば，任意の $n\ge1$ に対して $$a_n=p^n-4(-q)^n\equiv p^n-(-q)^n\equiv0\pmod3,$$ したがって条件は $p\equiv-q\pmod3$ と同値である。

$q=2$ のとき $p>4$ かつ $p\equiv1\pmod3$ なので，最小の可能な素数は $p=7$ であり，積は $14$。一方，$q\ge3$ なら $$pq>2q^2\ge18>14.$$ $(p,q)=(7,2)$ は $p>2q$ と $p\equiv-q\pmod3$ を満たすので，求める最小値は $$pq=14.$$