4京都大学 2005年 数学 第4問解答・解説

$a^3>b^3$ なので $d=a-b$ は正の整数である。因数分解すると $$\displaystyle 217=d(a^2+ab+b^2)=\frac d4\{3(a+b)^2+d^2\}\ge\frac{d^3}{4}.$$ よって $d^3\le868$、$d\le9$。また $d$ は $217=7\cdot31$ の正の約数だから、$d=1,7$ に限られる。 $d=1$ のとき $a=b+1$ を代入し、$3b^2+3b+1=217$。すなわち $(b-8)(b+9)=0$ より $(a,b)=(9,8),(-8,-9)$。 $d=7$ のとき $3b^2+21b+49=31$。すなわち $(b+1)(b+6)=0$ より $(a,b)=(6,-1),(1,-6)$。 以上を元の式へ代入するといずれも217となるので、求める組は $$\boxed{(9,8),(-8,-9),(6,-1),(1,-6)}.$$