千葉大学 2007年数学第7問解答・解説

数学と人間の活動（整数）

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1問題

千葉大学2007年度第7問

n を奇数とする。次の問いに答えよ。

(1) $n^{2}-1$ は 8 の倍数であることを証明せよ。

(2) $n^{5}-n$ は 3 の倍数であることを証明せよ。

(3) $n^{5}-n$ は 120 の倍数であることを証明せよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) $8\mid n^2-1$ 。(2) $3\mid n^5-n$ 。(3) $120\mid n^5-n$ 。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

(1) $n=2k+1$ とおくと $n^2-1=(2k+1)^2-1=4k(k+1).$ $k,k+1$ の一方は偶数なので、 $8\mid n^2-1$ 。 (2) 因数分解すると $n^5-n=n(n^4-1)=n(n-1)(n+1)(n^2+1).$ 連続する3整数 $n-1,n,n+1$ の中に3の倍数があるから、 $3\mid n^5-n$ 。 (3) $n$ を5で割った余りが $0,1,-1$ なら $n,n-1,n+1$ のどれかが5の倍数。余りが $2$ または $-2$ なら $n^2+1\equiv 2^2+1=0\pmod5$ 。従って $5\mid n^5-n$ 。すでに8と3でも割り切れ、8,3,5は互いに素だから $120=8\cdot3\cdot5\mid n^5-n.$

この問題で使う考え方

因数分解
合同式・余りによる場合分け

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