3高知大学 2020年 数学 第3問解答・解説

(1) 差を取ると $$(p+q)-(p-q)=2q$$ は偶数である。よって $p-q$ と $p+q$ は同じ偶奇をもち、一方が奇数であることと他方が奇数であることは同値である。

(2)–(4) $a=p-q,\ b=p+q$ とおけば $$ab=p^2-q^2.$$ 逆に $ab=N$ かつ $a,b$ が同じ偶奇なら $$\displaystyle p=\frac{a+b}{2},\qquad q=\frac{b-a}{2}$$ は整数で、$p^2-q^2=ab=N$ となる。したがって整数解 $(p,q)$ は、積が $N$ で偶奇が一致する順序付き整数因数対 $(a,b)$ と1対1に対応する。

$N=100$ のとき、$a,b$ はともに偶数でなければならない。$a=2u,b=2v$ とおくと $uv=25$ であり、その順序付き整数因数対は $$(u,v)=(1,25),(5,5),(25,1),(-1,-25),(-5,-5),(-25,-1).$$ $p=u+v,\ q=v-u$ に戻すと $$(p,q)=(26,24),(10,0),(26,-24),(-26,-24),(-10,0),(-26,24),$$ したがって求める組は6組である。

$N=250$ は $2\pmod4$ である。積 $ab$ が偶数で $a,b$ の偶奇が一致するなら、両方が偶数で $4\mid ab$ となるはずだが、$4\nmid250$ である。よって解はなく、組数は0である。

$N=210000$ では $a,b$ はともに偶数で、$a=2u,b=2v$ とすると $$\displaystyle uv=\frac{210000}{4}=52500=2^2\cdot3\cdot5^4\cdot7.$$ $52500$ の正の約数の個数は $$(2+1)(1+1)(4+1)(1+1)=60.$$ 積が正なので正の順序付き因数対が60組、負の順序付き因数対も60組ある。先の一対一の対応から、求める整数解 $(p,q)$ は合計 $60+60=120$ 組である。