2高知大学 2020年 数学 第2問解答・解説

$s=\sin\theta$ とおく。$0\leq\theta\leq\pi$ より $0\leq s\leq1$ であり、判別式は $$D=(-4\cos\theta)^2-4\cdot2\cdot3\sin\theta =16(1-s^2)-24s=-8(2s-1)(s+2).$$

(1) 実係数の二次方程式が非実の解をもつ条件は $D<0$ である。$s+2>0$ よりこれは $\displaystyle s>\frac12$ と同値。$0\leq\theta\leq\pi$ では $$\displaystyle \boxed{\frac\pi6<\theta<\frac{5\pi}6}.$$

(2) 異なる2つの正の解をもつ必要十分条件は、$D>0$ に加え、解の和と積がともに正であること。解の和と積はそれぞれ $$\displaystyle 2\cos\theta,\qquad \frac{3\sin\theta}{2}$$ である。従って必要十分条件は $\displaystyle \sin\theta<\frac12$、$\cos\theta>0$、$\sin\theta>0$。これを $0\leq\theta\leq\pi$ と合わせると $$\displaystyle \boxed{0<\theta<\frac\pi6}.$$

(3) 非実根を $z=p+qi$ とおく。ただし $p,q$ は実数、$q\ne0$。係数が実数なので他方の根は $p-qi$ であり、解と係数の関係から $$\displaystyle p=\cos\theta,\qquad p^2+q^2=\frac{3\sin\theta}{2}.$$ また $$z^3=(p^3-3pq^2)+i q(3p^2-q^2).$$ $z^3$ が実数という条件は虚部が0であること。$q\ne0$ だから $q^2=3p^2$。従って $p\ne0$ で、 $$\displaystyle p^2+q^2=4p^2=4\cos^2\theta=\frac{3\sin\theta}{2}.$$ $s=\sin\theta$ として整理すると $8s^2+3s-8=0$。$0\leq s\leq1$ を満たす解は $$\displaystyle \boxed{\sin\theta=\frac{\sqrt{265}-3}{16}}$$ のみである。この値は $1/2$ より大きく、非実根の条件とも一致する。

$0\leq\theta\leq\pi$ なので $s=\sin\theta$ は $0\leq s\leq1$。判別式は $D=16\cos^2\theta-24\sin\theta=16(1-s^2)-24s=-8(2s-1)(s+2)$。

(1) 実係数二次方程式が非実の虚数解をもつ条件は $D<0$。$s+2>0$ なので $D<0$ であるための必要十分条件は $\displaystyle s>\frac12$ である。範囲 $0\leq\theta\leq\pi$ で $\displaystyle \sin\theta>\frac12$ となるのは $\displaystyle \frac\pi6<\theta<\frac{5\pi}6$。

(2) 異なる2実根がともに正となるための必要十分条件は、$D>0$、解の和が正、解の積が正であること。解と係数の関係から和は $2\cos\theta$、積は $\displaystyle \frac{3\sin\theta}{2}$。よって $\displaystyle \sin\theta<\frac12$、$\cos\theta>0$、$\sin\theta>0$ を同時に満たす必要がある。これらを $0\leq\theta\leq\pi$ と交わらせると $\displaystyle 0<\theta<\frac\pi6$。

(3) 非実根を $z=p+qi$ とする（$p,q$は実数、$q\ne0$）。実係数なので根は共役 $p-qi$ であり、解と係数の関係から $p=\cos\theta$、$\displaystyle p^2+q^2=\frac{3\sin\theta}{2}$。$z^3$の虚部は $q(3p^2-q^2)$ だから、$z^3$が実数となるには $q^2=3p^2$。従って $p\ne0$で $p^2+q^2=4p^2=4\cos^2\theta$。これを積と等置して $\displaystyle 4\cos^2\theta=\frac{3\sin\theta}{2}$、すなわち $8(1-s^2)=3s$。 よって $8s^2+3s-8=0$。$0\leq s\leq1$を満たす解は $\displaystyle s=\frac{\sqrt{265}-3}{16}$ のみ。これは $\displaystyle s>\frac12$ なので非実根という前提とも整合する。