3岡山大学 2018年 数学 第3問解答・解説

(1) 二次方程式の判別式を $D$ とすると $$D=k^2-4(3k-4)=(k-6)^2-20.$$ 虚数解をもつ条件は $D<0$ なので $$(k-6)^2<20,\qquad 6-2\sqrt5<k<6+2\sqrt5.$$

(2) 非実根を $\alpha=a+bi$ ($b\ne0$) とおく。解と係数の関係と判別式から $a=k/2$、$b^2=-D/4$。四乗を展開すると $$\operatorname{Im}(\alpha^4)=4ab(a^2-b^2).$$ 従って $\alpha^4$ が実数となる条件は $a=0$ または $a^2=b^2$。前者なら $k=0$、このとき $D=16>0$ で虚数解をもたないから除く。後者は $$a^2=b^2\quad\text{すなわち}\quad k^2=-D =-(k^2-12k+16),$$ すなわち $2k^2-12k+16=0$、$(k-2)(k-4)=0$。$k=2,4$ ではそれぞれ $D=-4,-16<0$ で、解は $1\pm i$、$2\pm2i$。その四乗はそれぞれ $-4$、$-64$ だからどちらも条件を満たす。

(1) は判別式を平方完成し $D<0$ を解く。(2) は非実根を $a+bi$ と置き、四乗の虚部を因数分解する。$a=0$ は虚数解条件に反するため $a^2=b^2$ を解き、得た各 $k$ で判別式と四乗を再確認する。