4岡山大学 2018年 数学 第4問解答・解説

(1) $AQ:QP=t:(1-t)$ より $Q=(1-t)A+tP=(2-2t,3t,1+t(s-1))$。従って球面は $$(x-2+2t)^2+(y-3t)^2+(z-1-t(s-1))^2=9.$$

(2) 球の中心の $z$ 座標は $1+t(s-1)$。$xy$ 平面までの距離の二乗を9から引いたものが断面円の半径の二乗だから $$S_1=\pi\left(9-[1+t(s-1)]^2\right).$$

(3) 中心の $x$ 座標は $2(1-t)$ なので、$yz$ 平面でできる断面円について $$S_2=\pi\left(9-4(1-t)^2\right).$$ 定数因子 $\pi$ を除いた和は $$F(t)=18-[1+(s-1)t]^2-4(1-t)^2, \quad F''(t)=-2(s-1)^2-8<0.$$ よって唯一の最大点は $F'(t)=0$ で与えられ、 $$\displaystyle -2(s-1)[1+(s-1)t]+8(1-t)=0 \quad\text{したがって}\quad t=\frac{5-s}{(s-1)^2+4}.$$ 点 $P$ は線分 $BC$ 上にあるので $-3\le s\le-1$。この範囲で分子は正で、分母と分子の差は $s(s-1)>0$ だから $0<t<1$。従って最大点は許容区間内にある。

(4) $\displaystyle t=\frac12$ を(3)の式へ代入すると $$\displaystyle \frac12=\frac{5-s}{(s-1)^2+4} \quad\text{したがって}\quad s^2=5.$$ $-3\le s\le-1$ より $s=-\sqrt5$。

内分比 $AQ:QP=t:(1-t)$ から $Q=(1-t)A+tP$。球面と平面の交円は、半径3の球の半径から中心と平面の距離の二乗を引いた値が半径二乗になる。(3)では $S_1+S_2$ を $t$ の二次式として微分し、二階導関数が常に負なので停留点が唯一の最大点。$P$ が線分 $BC$ 上にあることは $-3\le s\le-1$ を意味し、この範囲なら求めた $t$ は $0$ と $1$ の間。中点条件を使って $s^2=5$、範囲から負の解 $s=-\sqrt5$ を選ぶ。