1岡山大学 2018年 数学 第1問解答・解説

(1) $e^x\ne0$ なので $f(x)=0$ は $1+x=0$ と同値。よって $x=-1$。

(2) $f'(x)=(x+2)e^x$。接点を $x=t$ とすると接線は $$y=(t+2)e^t(x-t)+(t+1)e^t.$$ 原点を通る条件は $1-t-t^2=0$、すなわち $$\displaystyle t=\frac{-1+\sqrt5}{2}\quad\text{または}\quad t=\frac{-1-\sqrt5}{2}.$$ このとき接線の傾きは $(t+2)e^t$ なので、2本は $$\displaystyle y=(t+2)e^t x\quad\left(t=\frac{-1\pm\sqrt5}{2}\right).$$

(3) 大きい方の接点を $t=(\sqrt5-1)/2$ とする。このとき $t^2+t=1$ で、接線Lは原点を通り傾き $m=(t+2)e^t$。曲線とx軸の交点は $-1$、Lとx軸の交点は0。$f''(x)=(x+3)e^x>0$ は $-1\le x\le t$ で成り立つので、接点以外では曲線は接線より上にある。面積は $$\displaystyle \int_{-1}^0 (x+1)e^x\,dx+\int_0^t\bigl((x+1)e^x-mx\bigr)\,dx =\frac1e+e^t\left(t-\frac{(t+2)t^2}{2}\right).$$ $t^2+t=1$ より $(t+2)t^2=1$。従って $$\displaystyle \boxed{\frac1e+\frac{\sqrt5-2}{2}e^{(\sqrt5-1)/2}}.$$