2岡山大学 2018年 数学 第2問解答・解説

A,B,Cにいる確率をそれぞれ $a_n,b_n,c_n$ とする。図より、AからB,C,Dへ進む確率はそれぞれ $\displaystyle \frac12,\frac13,\frac16$、BからB,C,Dへ進む確率はそれぞれ $\displaystyle \frac13,\frac12,\frac16$、CからC,Dへ進む確率はそれぞれ $\displaystyle \frac23,\frac13$ である。また、Aへ戻る矢印はないから $a_0=1$、$n\ge1$ では $a_n=0$ である。

(1) 1回目にBへ進む確率は $\displaystyle b_1=\frac12$ であり、2回目以降にBにいるにはBにとどまり続ける必要がある。したがって $$\displaystyle b_n=\frac13 b_{n-1}\quad(n\ge2), \qquad b_n=\frac{1}{2\cdot3^{n-1}}\quad(n\ge1).$$

(2) $\displaystyle c_1=\frac13$ である。$n\ge2$ では、1回目にAからCへ進んで残りをCにとどまる場合と、操作 $k$ 回目にBからCへ進み、その後Cにとどまる場合（$2\le k\le n$）を足すと $$\displaystyle c_n=\frac13\left(\frac23\right)^{n-1} +\sum\limits _{k=2}^{n}\frac{1}{2\cdot3^{k-2}}\cdot\frac12\left(\frac23\right)^{n-k}.$$ ここで $$\displaystyle \sum\limits _{k=2}^{n}\frac{1}{4\cdot3^{k-2}}\left(\frac23\right)^{n-k} =\frac12\left(\frac23\right)^{n-2}-\frac{1}{4\cdot3^{n-2}}$$ だから、 $$\displaystyle c_n=\frac{13}{18}\left(\frac23\right)^{n-2}-\frac{1}{4\cdot3^{n-2}}\quad(n\ge2).$$ よって、求める確率は $n=1$ のとき $\displaystyle \frac13$、$n\ge2$ のとき上式である。

(3) 1回目にゲームが終了するのはAからDへ進む場合なので、確率は $\displaystyle \frac16$ である。$n\ge2$ では、$n-1$ 回後にBまたはCにいて次の操作でDへ進む場合を考える。したがって $$\displaystyle d_n=\frac16b_{n-1}+\frac13c_{n-1}.$$ $n=2$ では $\displaystyle b_1=\frac12,\ c_1=\frac13$ より $$\displaystyle d_2=\frac16\cdot\frac12+\frac13\cdot\frac13=\frac{7}{36}.$$ $n\ge3$ では(1)、(2)から $$\displaystyle \begin{aligned} d_n &=\frac{1}{12\cdot3^{n-2}} +\frac{13}{54}\left(\frac23\right)^{n-3} -\frac{1}{12\cdot3^{n-3}}\\ &=\frac{13}{54}\left(\frac23\right)^{n-3} -\frac{1}{18\cdot3^{n-3}}. \end{aligned}$$ 以上。