2大阪大学 2019年 数学 第2問解答・解説

まず漸化式を差の形に直すと $$z_n-z_{n-1}=-w(z_{n-1}-z_{n-2}).$$ $z_2-z_1=-w$ なので帰納的に $z_n-z_{n-1}=(-w)^{n-1}$。和をとれば $$\displaystyle z_n=\sum\limits _{k=0}^{n-1}(-w)^k =\begin{cases}\dfrac{1-(-w)^n}{1+w}&(w\ne-1),\\n&(w=-1).\end{cases}$$ (1) $a=4,b=3$ のとき $w=-1/2+(\sqrt3/2)i$，$-w=1/2-(\sqrt3/2)i$。 従って各点は順に $$\displaystyle \begin{gathered} z_1=1,\quad z_2=\frac32-\frac{\sqrt3}{2}i,\quad z_3=1-\sqrt3i,\quad z_4=-\sqrt3i,\\ z_5=-\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i,\quad z_6=0,\quad z_7=1. \end{gathered}$$ 隣り合う点を結ぶと一辺1の正六角形ができる。図の矢印順に進み，最後は最初の点に戻る。

(2) $a=2,b=1$ では $w=i$。$i^{63}=-i$ より $$\displaystyle \boxed{z_{63}=\frac{1+i^{63}}{1+i}=\frac{1-i}{1+i}=-i}.$$

(3) $w=-1$ の場合は $z_{63}=63\ne0$。これを除けば $$\displaystyle z_{63}=0\quad\text{であるための必要十分条件は}\quad w^{63}=-1 \quad\text{、すなわち}\quad\frac{63a}{b+3}\text{ が奇数の整数}.$$ $1\le a,b\le6$ の範囲で調べる。表の中では $w=-1$ となる組を除いている。 $$\begin{array}{c|rrrrrr} b&1&2&3&4&5&6\\\hline b+3&4&5&6&7&8&9\\ \text{条件を満たす }a&\text{なし}&\text{なし}&2&1,3,5&\text{なし}&1,3,5 \end{array}$$ 例えば分母4,5では奇数整数となるのはそれぞれ $a=4,5$ だけだが，どちらも $w=-1$。分母6では $a=2,6$ が該当し，$a=6$ を除く。分母8では該当なし。分母7,9では奇数の $a$ が該当する。 よって全36通りのうち7通りであり，求める確率は $\boxed{7/36}$。