4広島大学 2018年 数学 第4問解答・解説

$\alpha$=$\cos$$\displaystyle \frac{2\pi}{3}$+i$\sin$$\displaystyle \frac{2\pi}{3}$ とおくと、ド・モアブルの定理より $\displaystyle \alpha^k=\cos\frac{2k\pi}{3}+i\sin\frac{2k\pi}{3}$ である。したがって $\alpha^3=1$、かつ $\alpha\ne1$ なので、$\alpha^0=\alpha^3=1$ であり、$\alpha^1=\alpha$、$\alpha^2=\alpha^2$ は互いに異なる。

(1) $X_1=\alpha$ となるのは $Z_1=1$ のときに限る（$Z_1$ は $0,1,2,3$ のいずれか）。よって $\displaystyle P_1=\dfrac14$。

(2) $\alpha^{Z_{n+1}}=1$ となるのは $Z_{n+1}=0,3$ のときであるから、求める確率は $\displaystyle \dfrac24=\dfrac12$。

(3) $X_n=\alpha^{Z_1+\cdots+Z_n}$ は必ず $1,\alpha,\alpha^2$ のいずれかであり、これらは互いに異なる。したがって $P(X_n=1)+P_n+Q_n=1$ より、$X_n=1$ となる確率は $1-P_n-Q_n$。

(4) 直前の状態と次のカードの数字に応じて $X_{n+1}=\alpha$ となる場合を考える。$X_n=1$ のときは次の因子が $\alpha$（確率 $1/4$）、$X_n=\alpha$ のときは次の因子が $1$（確率 $1/2$）、$X_n=\alpha^2$ のときは次の因子が $\alpha^2$（確率 $1/4$）ならばよい。各回の試行は独立なので、$$\displaystyle \begin{aligned}P_{n+1}&=\frac14(1-P_n-Q_n)+\frac12P_n+\frac14Q_n\\&=\frac{P_n+1}{4}.\end{aligned}$$

(5) 漸化式から $\displaystyle P_{n+1}-\dfrac13=\dfrac14\left(P_n-\dfrac13\right)$。また $\displaystyle P_1=\dfrac14$ なので、$$\displaystyle P_n-\frac13=\left(\frac14\right)^{n-1}\left(\frac14-\frac13\right)=-\frac{1}{3\cdot4^n}.$$ よって $$\displaystyle P_n=\frac13-\frac{1}{3\cdot4^n}=\frac{4^n-1}{3\cdot4^n}\quad(n=1,2,\ldots,N).$$