1広島大学 2018年 数学 第1問解答・解説

(1) $u=x+y$ より $0\leq u\leq 2$ である。$u$ を固定すると $y=u-x$ だから $$\displaystyle v=xy=x(u-x)= -\left(x-\frac{u}{2}\right)^2+\frac{u^2}{4}.$$ したがって $v$ は $x=u/2$ のとき最大値 $u^2/4$ をとる。 $0\leq u\leq1$ では $0\leq x\leq u$ であり、端点での積の最小値は $0$ である。 $1\leq u\leq2$ では $u-1\leq x\leq1$ であり、端点での積はともに $u-1$ である。よって領域は $$\displaystyle 0\leq u\leq1,\quad 0\leq v\leq\frac{u^2}{4};\qquad 1\leq u\leq2,\quad u-1\leq v\leq\frac{u^2}{4}$$ である。これらの各境界は、端点条件 $x=0,1$ または最大条件 $x=y$ に対応する。

(2) 今度は $u=x+y$ を固定し、$y=u-x$ とおく。$1\leq u\leq2$ なら $0\leq x\leq u-1$、$2\leq u\leq3$ なら $u-2\leq x\leq1$ である。いずれも $v=x(u-x)$ はこの範囲で増加する。実際、差をとれば、$x_1<x_2\leq u/2$ のとき $$x_2(u-x_2)-x_1(u-x_1)=(x_2-x_1)(u-x_1-x_2)\geq0,$$ また、ここでの $x$ の上端は $u/2$ 以下である。したがって、端点での値から $$1\leq u\leq2,\quad 0\leq v\leq u-1;\qquad 2\leq u\leq3,\quad 2u-4\leq v\leq u-1$$ を得る。各端点はそれぞれ $x=0$, $y=1$, $y=2$, $x=1$ に対応する。

(3) 長方形を $0\leq y\leq1$ と $1\leq y\leq2$ に分ける。前者で得る $(u,v)$ の領域は (1) と同じである。後者で得る領域は (2) と同じである。 (1) の領域の面積は、縦に切って $$\displaystyle \int_0^1\frac{u^2}{4}\,du+\int_1^2\left(\frac{u^2}{4}-(u-1)\right)du =\frac{1}{12}+\frac{1}{12}=\frac{1}{6}.$$ (2) の領域の面積は $$\displaystyle \int_1^2(u-1)\,du+\int_2^3\bigl((u-1)-(2u-4)\bigr)du =\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1.$$ 二つの像の共通部分は $y=1$ に対応する境界 $v=u-1$（$1\leq u\leq2$）だけである。実際、$u,v$ から根 $x,y$ は順序を除いて一意に定まり、双方の領域に属するには大きい方の根が $1$ でなければならない。この共通部分は面積をもたない。よって求める面積は $$\displaystyle \frac16+1=\boxed{\frac76}.$$