5広島大学 2018年 数学 第5問解答・解説

$f(x)=x^3-3x$ とおくと $$f'(x)=3(x^2-1).$$ したがって $C$ は $x<-1$ と $x>1$ で増加し、$-1<x<1$ で減少する。極大点は $(-1,2)$、極小点は $(1,-2)$、原点は変曲点である。(1) の正方形は $-3\le x\le-1,\ 2\le y\le4$ で表される。この区間では $f(x)\le2$ で、等号は $x=-1$ のときだけだから、$C$ と $B$ の共有点は右下の頂点 $(-1,2)$ だけである。

$\displaystyle M(a)=\max\limits _{a-1\le x\le a+1}f(x)$ とする。正方形の下辺の高さを $L=b-1$ とおく。$x=a$ は正方形の左右の辺の間にあり、問題の条件 $f(a)<b$ がある。もし $f(a)>L$ なら $(a,f(a))$ は正方形の内部に入るので、接するためには $f(a)\le L$ が必要である。また、区間内に $f(x)>L$ となる点があれば、連続性により途中で $L<f(x)<L+2=b+1$ となる内部共有点を生じる。したがって $M(a)\le L$。共有点が存在するには $M(a)=L$ でなければならない。逆に $L=M(a)$ なら、区間内の曲線は下辺より上に出ず、最大値をとる点で下辺に接するので、共有点は正方形の境界上だけである。よって接するための必要十分条件は $$b=M(a)+1.$$

(2) 接点の $x$ 座標を $q<-1$ とする。条件 $x<-1$ の範囲では $f$ は増加する。共有点が境界上だけであるには、曲線が正方形の右下の頂点で下辺に触れる必要がある。したがって $q=a+1$、$f(q)=b-1$ となり、 $$P=(a,b)=(q-1,f(q)+1),\qquad q<-1.$$ $q=a+1$ と書き直すと、軌跡は $$b=f(a+1)+1=a^3+3a^2-1,\qquad a<-2.$$

(3) $f$ は $x\le-1$ で増加し、$-1\le x\le1$ で減少、$x\ge1$ で増加する。$a-1\le x\le a+1$ の範囲に $x=-1$ が含まれるのは $-2\le a\le0$ のときで、この場合は最大値が $f(-1)=2$。$a<-2$ では右端が最大である。$a>0$ では最大値は両端のどちらかであり、 $$f(a+1)-f(a-1)=6a^2-4$$ だから、$a\le\sqrt{2/3}$ では左端、$a\ge\sqrt{2/3}$ では右端が最大となる。従って軌跡は $$b= \begin{cases} a^3+3a^2-1 &(a\le-2),\\ 3 &(-2\le a\le0),\\ a^3-3a^2+3 &(0\le a\le\sqrt{2/3}),\\ a^3+3a^2-1 &(a\ge\sqrt{2/3}). \end{cases}$$ 重なる端点では式の値は一致する。

(4) この関数を $g(a)$ と書く。$g(0)=3$。$h<0$ なら $g(h)=3$ なので左側の差商は $0$。$h>0$ が十分小さいとき $$\displaystyle \frac{g(h)-g(0)}{h} =\frac{h^3-3h^2+3-3}{h}=h^2-3h\longrightarrow0.$$ 左右の差商がともに $0$ に収束するから、$g$ は $0$ で微分可能である。