3広島大学 2018年 数学 第3問解答・解説

(1) $f(t)=e^t-1-t$ とおく。$f'(t)=e^t-1$ は $t<0$ で負、$t>0$ で正だから、$f$ は $t=0$ で最小となる。$f(0)=0$ より $f(t)\geq0$、すなわち $1+t\leq e^t$ である。等号は $t=0$ のとき。

(2) $0\leq x\leq\pi/4$ では $\cos x>0$ なので $$\displaystyle \frac{1}{1+\sin x}=\frac{1-\sin x}{\cos^2x}=\sec^2x-\sec x\tan x=(\tan x-\sec x)'.$$ したがって $$\displaystyle \int_0^{\pi/4}\frac{dx}{1+\sin x}=[\tan x-\sec x]_0^{\pi/4}=(1-\sqrt2)-(-1)=2-\sqrt2.$$

(3) (1)で $t=-\sin x$ とすると $1-\sin x\leq e^{-\sin x}$。よって $$\displaystyle \int_0^{\pi/4}(1-\sin x)\,dx=[x+\cos x]_0^{\pi/4}=\frac{\pi}{4}-1+\frac{\sqrt2}{2}$$ が下界となる。一方、(1)で $t=\sin x$ とすると $1+\sin x\leq e^{\sin x}$。両辺は正なので逆数をとって $e^{-\sin x}\leq(1+\sin x)^{-1}$。積分し、(2)の値を使えば上界は $2-\sqrt2$ である。